ĐKXĐ: \(\begin{cases}2-x>0\\ \left|x+1\right|-3<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<2\\ \left|x+1\right|<>3\end{cases}\)

=>x<2 và x+1∉{3;-3}

=>x<2 và x∉{2;-4}

=>x<2 và x<>-4

ĐKXĐ: x>=2

Ta có: \(\sqrt[3]{3-x} \ge 1 - \sqrt{x-2}\)

=>\(\sqrt[3]{3-x} + \sqrt{x-2} \ge 1\)

Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{3-x}+\sqrt{x-2}\)

Xét hàm số f(x) trên txđ [2;+∞)

\(f(2) = \sqrt[3]{3-2} + \sqrt{2-2} = 1 + 0 = 1\)

Khi x>2 thì ta có:

hàm số \(g(x) = \sqrt[3]{3-x}\) nghịch biến trên R vì 3-x giảm khi x tăng

Hàm số \(h(x) = \sqrt{x-2}\) đồng biến khi x>2

\(f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\)

TH1: 2<=x<=3

2<=x<=3

=>0<=x-2<=1

=>\(\sqrt{x-2}\le1\)

=>\(\frac{1}{2\sqrt{x-2}}\ge\frac12\)

2<=x<=3

=>-2>=-x>=-3

=>-2+3>=-x+3>=-3+3

=>0<=-x+3<=1

=>\(\left(3-x\right)^2\le1\)

=>\(3\sqrt[3]{(3-x)^2}\le3\implies\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}\ge\frac{1}{3}\)

Khi x=3 thì \(f(3) = \sqrt[3]{0} + \sqrt{1} = 1 \ge 1\)

f(2)=1; f(3)=1

x>=2

=>x-2>=0

=>\(\sqrt{x-2}\ge0\)

x<=3

=>x-3<=0

=>3-x>=0

=>\(\sqrt[3]{3-x}\ge0\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{3-x}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0\)

=>\(a^3+b^2=3-x+x-2=1\)

Ta có: \(0\le a\le1;0\le b\le1\)

=>\(a\ge a^3;b\ge b^2\)

=>\(a+b\ge a^3+b^2=1\)

=>f(x)>=1∀x∈[2;3](1)

TH2: x>3

x>3

=>x-2>1

=>\(\sqrt{x-2}>1\)

x>3

=>3-x<0

=>\(\sqrt[3]{3-x}<0\)

Đặt t=x-3(Điều kiện: t>0)

=>x-2=t+1

Khi x=11 thì t=11-3=8

\(f(11) = \sqrt[3]{3-11} + \sqrt{11-2} = \sqrt[3]{-8} + \sqrt{9} = -2 + 3 = 1\)

Xét phương trình f(x)=1 trên khoảng (3;+∞)

\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}=0\)

=>\(3\sqrt[3]{(x-3)^2}=2\sqrt{x-2}\)

=>f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên khoảng (3;+∞)

Vì f'(x) đổi dấu đúng một lần nên f(x) đạt cực đại trên khoảng (3;+∞)

f(3)=1; f(11)=1

=>f(x)>1 trên khoảng (3;11]

Với x>11 thì f(x)>1

Do đó: Khi 3<x<=11 thì f(x)>=1(2)

Từ (1),(2) suy ra f(x)>=1 khi 2<=x<=11

a, ĐKXĐ : \(D=R\)

BPT \(\Leftrightarrow x^2+5x+4< 5\sqrt{x^2+5x+4+24}\)

Đặt \(x^2+5x+4=a\left(a\ge-\dfrac{9}{4}\right)\)

BPTTT : \(5\sqrt{a+24}>a\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a+24\ge0\\a< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\25\left(a+24\right)>a^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\\left\{{}\begin{matrix}a^2-25a-600< 0\\a\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\0\le a< 40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-24\le a< 40\)

- Thay lại a vào ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+5x-36< 0\\x^2+5x+28\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-9< x< 4\)

Vậy ....

b, ĐKXĐ : \(x>0\)

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)< x+\dfrac{1}{4x}+1\)

- Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2=x+\dfrac{1}{4x}+1\)

BPTTT : \(2a\le a^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le0\\a\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge4\)

- Thay a vào lại BPT ta được : \(x+\dfrac{1}{4x}-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-12x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x=(0;\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}]\cup[\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2};+\infty)\)

Vậy ...

ĐK: \(x\ge0\)

Với \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{x}>0\)nên bpt \(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+2\right)}\ge\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x\ge x^3+3x^2+4x+1-2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+2x+1-2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[x^2+x+1-2\sqrt{x\left(x+1\right)}\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1-2\sqrt{x\left(x+1\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-1\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+1\right)}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.dox\ge0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2} + \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) + 2 > 0\) (1)

ĐKXĐ: \(\begin{cases}1-x^2>0\\ x<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2<1\\ x<>0\end{cases}\)

=>-1<x<1 và x<>0

Đặt \(y=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(y^2 = \left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)^2 + 2 + \left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \dfrac{1-x^2}{x^2} + 2 + \dfrac{x^2}{1-x^2}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)+2+\dfrac{x^2}{1-x^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{1-x^2}+1\)

=>\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2} = y^2 - 1\)

Thay vào BPT ban đầu, ta được: \((y^2 - 1) + \dfrac{5}{2}y + 2 > 0\)

=>\(y^2+\dfrac{5}{2}y+1>0\iff2y^2+5y+2>0\)

=>(2y+1)(y+2)>0

=>y>-1/2 hoặc y<-2

TH1: 0<x<1

Theo AM-GM, ta được: \(y \ge 2 \cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}} = 2\)

Nếu y>-1/2 thì vì y>=2>-1/2

nên (1) luôn đúng

Nếu y<-2 thì vì y>=2>-2

nên (1) vô nghiệm

TH2: -1<x<0

=>\(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}<0;\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}<0\)

Đặt \(t=-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)

=>\(y=-t-\dfrac{1}{t}=-\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\le-2\)

Nếu y>-1/2 thì vì y<=-2<-1/2

nên (1) luôn sai

=>(1) vô nghiệm

Nếu y<-2 thì vì y<=-2<-2

nên mọi giá trị của x sẽ thỏa mãn y, trừ giá trị thỏa mãn y=-2

Đặt y=-2

=>\(t+\dfrac{1}{t}=2\iff t=1\)

=>\(-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}=1\)

\(\iff\sqrt{1-x^2}=-x\)

=>\(1-x^2=x^2\)

=>\(2x^2=1\)

=>\(x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Do đó: x∈\(\left(-1;\frac{-1}{\sqrt2}\right)\) \(\cup\) \(\left(-\frac{1}{\sqrt2};0\right)\)

Vậy: \(S = \left(-1, -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \cup (0, 1)\)

a: ĐKXĐ: x>=-9/2 và x<>0

\(3 - \sqrt{9 + 2x} = \frac{9 - (9 + 2x)}{3 + \sqrt{9 + 2x}} = \frac{-2x}{3 + \sqrt{9 + 2x}}\)

=>\((3 - \sqrt{9 + 2x})^2 = \frac{4x^2}{(3 + \sqrt{9 + 2x})^2}\)

\(\frac{2x^2}{(3 - \sqrt{9 + 2x})^2} < x + 21\)

=>\(\frac{2x^2 \cdot (3 + \sqrt{9 + 2x})^2}{4x^2} < x + 21\)

=>\(\frac{(3 + \sqrt{9 + 2x})^2}{2} < x + 21\)

=>\((3 + \sqrt{9 + 2x})^2 < 2x + 42\)

=>\(9 + 6\sqrt{9 + 2x} + (9 + 2x) < 2x + 42\)

=>\(18 + 2x + 6\sqrt{9 + 2x} < 2x + 42\)

=>\(6\sqrt{9 + 2x} < 24\)

=>\(\sqrt{2x+9}<4\)

=>2x+9<16

=>2x<7

=>x<7/2

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: -9/2<=x<7/2 và x<>0

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

a) (x≤3)





 

a: Ta có: \(\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow x-1=4\)

hay x=5

b: Ta có: \(\sqrt{3-x}=4\)

\(\Leftrightarrow3-x=16\)

hay x=-13

c: Ta có: \(2\cdot\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-2x+3=\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow-2x=-\dfrac{47}{16}\)

hay \(x=\dfrac{47}{32}\)

d: Ta có: \(4-\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\dfrac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow x-1=\dfrac{49}{4}\)

hay \(x=\dfrac{53}{4}\)

e: Ta có: \(\sqrt{x-1}-3=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=4\)

\(\Leftrightarrow x-1=16\)

hay x=17

f:Ta có: \(\dfrac{1}{2}-2\cdot\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow x+2=\dfrac{1}{64}\)

hay \(x=-\dfrac{127}{64}\)