Lời giải:

Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1$

$\Rightarrow x=y; y=z; z=x\Rightarrow x=y=z$

Khi đó:

$|x+y|=|z-1|$

$\Leftrightarrow |2x|=|x-1|$

$\Rightarrow 2x=x-1$ hoặc $2x=-(x-1)$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$ (đều thỏa mãn)

Vậy $(x,y,z)=(-1,-1,-1)$ hoặc $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có: 

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)

Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

Dấu"=" xảy ra <=>x=y y=z z=x=>x=y=z

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=8xyz\Leftrightarrow x=y=z\)(ĐPCM)
 

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:

\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\Rightarrow x+z\ge2\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)(Vì x,y,z > 0)

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+x\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+x}{2}=1\)

Dấu ' =' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vì $x+y+z=3$ nên $y+z=3-x,\quad x+z=3-y,\quad x+y=3-z.$

Do đó $P=\dfrac1{x^2+3-x}+\dfrac1{y^2+3-y}+\dfrac1{z^2+3-z}.$

Với $0<x<3$, ta có $\dfrac1{x^2+3-x}\le\dfrac{4-x}{9}$ vì $\dfrac{4-x}{9}-\dfrac1{x^2+3-x}$

$=\dfrac{(4-x)(x^2-x+3)-9}{9(x^2-x+3)}$

$=\dfrac{-(x-3)(x-1)^2}{9(x^2-x+3)}\ge0.$

Tương tự, $\dfrac1{y^2+3-y}\le\dfrac{4-y}{9}$

$\dfrac1{z^2+3-z}\le\dfrac{4-z}{9}.$

Suy ra $P\le\dfrac{4-x}{9}+\dfrac{4-y}{9}+\dfrac{4-z}{9}$$=\dfrac{12-(x+y+z)}9$$=\dfrac{12-3}{9}$$=1.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$

Khi đó $P=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1.$

Vậy $P_{\max}=1.$

Ta có $xyz\ge x+y+z+2.$

Theo bất đẳng thức AM-GM:

$xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.$

Suy ra $\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge x+y+z+2$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^3\ge27(x+y+z+2)$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^3-27(x+y+z)-54\ge0$

$\Leftrightarrow (x+y+z-6)(x+y+z+3)^2\ge0.$

Vì $x,y,z>0$ nên $x+y+z+3>0.$

Do đó $x+y+z-6\ge0$

$\Leftrightarrow x+y+z\ge6.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ và $xyz=x+y+z+2$

$\Leftrightarrow x^3=3x+2$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=2.$

Vậy $x=y=z=2$ và $\min(x+y+z)=6.$

M=x+yxy.1z≥2√xyxy.1z=2z√xy≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4

Vì $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$ nên $\dfrac{x+y+z}{xyz}=1$

$\Leftrightarrow\dfrac1{yz}+\dfrac1{xz}+\dfrac1{xy}=1.$

Đặt $a=\dfrac1x,\quad b=\dfrac1y,\quad c=\dfrac1z.$

Khi đó $ab+bc+ca=1.$

Ta có $S=\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{z^2}+\dfrac{z}{x^2}$

$=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$

$\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$$=a+b+c.$

Mặt khác, $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow(a+b+c)^2\ge3$

$\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt3.$

Suy ra $S\ge\sqrt3.$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}$

$\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt3.$

Khi đó điều kiện $x+y+z=xyz$ được thỏa mãn. Vậy $S_{\min}=\sqrt3.$

A=x^3 +y^3 +z^3+ 2(x/y+z  +y/z+x  +z/x+y)  \(\ge x^3+y^3+z^3+2.\frac{3}{2}\)  (bạn vào tìm BĐT nesbit là sẽ cm cái đằng sau >= 3/2)

Áp dụng cô si \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=3\)

===> A\(\ge3+3=6\) khi x=y=z=1

Vì $xyz=1$ nên theo bất đẳng thức AM-GM:

$x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}$$=3\sqrt[3]{(xyz)^3}$$=3.$

Mặt khác, theo bất đẳng thức Nesbitt:

$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac32.$

Suy ra $2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\right)\ge3.$

Do đó $A=x^3+y^3+z^3+\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y}$$\ge3+3$$=6.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ và $xyz=1$

$\Leftrightarrow x=y=z=1.$

Khi đó $A=1+1+1+\dfrac21+\dfrac21+\dfrac21=6.$

Vậy $A_{\min}=6.$