p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3

=>p và q đều là các số lẻ và đều không chia hết cho 3

TH1: p=3a+1; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

\(=\left(3a+1-3b-1\right)\left(3a+1+3b+1\right)=\left(3a-3b\right)\left(3a+3b+1\right)=3\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)\) ⋮3(2)

TH2: p=3a+1; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+1+3b+2)(3a+1-3b-2)

=(3a+3b+3)(3a-3b-1)

=3(a+b+1)(3a-3b-1)⋮3(1)

TH3: p=3a+2; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

=(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1)

=(3a+3b+3)(3a-3b+1)

=3(a+b+1)(3a-3b+1)⋮3(3)

TH4: p=3a+2; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2)

=(3a-3b)(3a+3b+4)

=3(a-b)(3a+3b+4)⋮3(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(p^2-q^2\) ⋮3

p,q là các số lẻ

=>p=2a+1; q=2b+1

\(p^2=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)

\(q^2=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1=4b\left(b+1\right)+1\)

Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên a(a+1)⋮2

=>4a(a+1)⋮8

Vì b;b+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên b(b+1)⋮2

=>4b(b+1)⋮8

\(p^2-q^2=\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2\)

=4a(a+1)-4b(b+1)

mà 4a(a+1)⋮8 và 4b(b+1)⋮8

nên \(p^2-q^2\) ⋮8

mà \(p^2-q^2\) ⋮3

và ƯCLN(3;8)=1

nên \(p^2-q^2\) ⋮3*8

=>\(p^2-q^2\) ⋮24

mà 48⋮24

nên \(p^2-q^2-48\) ⋮24

Vì p và q nguyên tố > 3 nên p và q đều lẻ => p^2 và q^2 đều chia 8 dư 1 => p^2 - q^2 chia hết cho 8 (1)

Lại có p và q nguyên tố > 3 nên p và q đều ko chia hết cho 3 => p^2 và q^2 đều chia 3 dư 1 => p^2 - q^2 chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => p^2 - q^2 chia hết cho 24 ( vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau )

nhớ có lời giải nha.  THANKS BẠN NHIỀU

Lời giải:

$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ lẻ

$\Rightarrow p+1$ chẵn $\Rightarrow p+1\vdots 2(1)$

Mặt khác:

$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái đề bài) 

$\Rightarrow p=3k+2$
Khi đó:

$p+1=3k+3\vdots 3(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(2,3)=1$ nên $p+1\vdots (2.3)$ hay $p+1\vdots 6$

Gọi: \(A=n^2+4\)và \(B=n^2+16\)

Ta có: \(A=n^2+4=n^2-1+5=\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\)(1)

và \(B=n^2+16=n^2-4+20=\left(n-2\right)\left(n+2\right)+20\)(2)

Vì A;B là số nguyên tố nên từ (1) và (2) suy ra: \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)và \(\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)không chia hết cho 5. 

Mặt khác, tích của 5 số tự nhiên liên tiếp: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)phải chia hết cho 5. 

Suy ra n chia hết cho 5. ĐPCM.