Bài 5:

1: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC

Tâm là trung điểm của BC

Bán kính là BC/2

2: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\hat{FHB}=\hat{EHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFB~ΔHEC

=>\(\frac{HF}{HE}=\frac{HB}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HE\cdot HB\left(1\right)\)

Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có

\(\hat{EHA}=\hat{DHB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA~ΔHDB

=>\(\frac{HE}{HD}=\frac{HA}{HB}\)

=>\(HE\cdot HB=HD\cdot HA\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(HF\cdot HC=HB\cdot HE=HD\cdot HA\)

3: Xét tứ giác AFHE có \(\hat{AFH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{HFE}=\hat{HAE}\) (AEHF nội tiếp)

\(\hat{HFD}=\hat{HBD}\) (BFHD nội tiếp)

mà \(\hat{HAE}=\hat{HBD}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{HFE}=\hat{HFD}\)

=>FH là phân giác của góc DFE

Ta có: \(\hat{FEH}=\hat{FAH}\) (AEHF nội tiếp)

\(\hat{DEH}=\hat{DCH}\) (CDHE nội tiếp)

mà \(\hat{FAH}=\hat{DCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{FEH}=\hat{DEH}\)

=>EH là phân giác của góc FED

Xét ΔFED có

EH,FH là các đường phân giác

EH cắt FH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔFED