a: ĐKXĐ: x>=5

\(\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}\)

=>\(\sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{x+1}\)

=>\(5x^2+14x+9=x^2-x-20+25\left(x+1\right)+10\cdot\sqrt{\left(x^2-x-20\right)\left(x+1\right)}\)

=>\(4x^2-10x+4=10\cdot\sqrt{\left(x-5\right)\left(x^2+5x+4\right)}\)

=>\(2x^2-5x+2=5\cdot\sqrt{\left(x-5\right)\left(x^2+5x+4\right)}\)

=>\(2x^2-5x+2=5\cdot\sqrt{\left(x^2-4x-5\right)\left(x+4\right)}\)

=>\(2\left(x^2-4x-5\right)-5\cdot\sqrt{\left(x^2-4x-5\right)\left(x+4\right)}+3\left(x+4\right)=0\) (1)

Đặt \(a=\sqrt{x^2-4x-5};b=\sqrt{x+4}\)

(1) sẽ trở thành: \(2a^2-5ba+3b^2=0\)

=>(2a-3b)(a-b)=0

TH1: 2a-3b=0

=>2a=3b

=>\(2\sqrt{x^2-4x-5}=3\sqrt{x+4}\)

=>\(4\left(x^2-4x-5\right)=9\left(x+4\right)\)

=>\(4x^2-16x-20=9x+36\)

=>\(4x^2-25x-56=0\)

=>(x-8)(4x+7)=0

=>x=8(nhận) hoặc x=-7/4(loại)

TH2: a-b=0

=>a=b

=>\(x^2-4x-5=x+4\)

=>\(x^2-5x-9=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-9\right)=25+36=61>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{5-\sqrt{61}}{2\cdot1}=\frac{5-\sqrt{61}}{2}\left(loại\right)\\ x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{c^2+a^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\right)\left(b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2+c^2}+\frac{b^4}{a^2+c^2}+\frac{c^4}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\)

và \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}} = R.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}\)

Tương tự ta có: \(\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}\) và \(\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{{abc}}\left[ {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \right]\\ = \frac{R}{{abc}}\left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\end{array}\)

Theo mình nghĩ là có a² +b²+c²=0 => a=0; b=0; c=0. thay vào là dc. không biết đúng k, mình thấy khúc thay thì nó =0 luôn mà =D

 ≥ 9(a + b + c)

(a2+b2+c2)3(a2+b2+c2)3 ≥ 9(a + b + c)

 Câu trả lời hay nhất:  áp dụng BĐT bunhiacopxki 
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1 
=> a² + b² + c² ≥ 1/3 

dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3

tk mk nha $_$

A)23/42-10/21

B)16/25-3/15

C)7/8-1/3-1/2

D)15/7-4/9-10/9

Vì \(b^2=ac\) ta suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\). Đặt \(a=kb\) và \(b=kc\).

Khi đó \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{k\left(kc\right)}{c}=k^2\). (1)

Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2012b}{2012c}=\dfrac{a+2012b}{b+2012c}=k\), suy ra \(k^2=\dfrac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(k^2=\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\) (đpcm)