Ta có \(x^2+2xy+y^2+y^2=4-3y\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+y^2=4-3y\).
Suy ra \(4-3y>0\Leftrightarrow3y< 4\).
Do y nguyên dương nên \(y=1\).
Thay vào phương trình ta có: \(\left(x+1\right)^2+1^2=4-3.1\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x+1=0\)\(\Leftrightarrow x=-1\). (Loại vì x nguyên dương).
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+\left(2y^2+3y-4\right)=0\)

Coi phương trình trên có ẩn là x.

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta'=y^2-\left(2y^2+3y-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-y^2-3y+4\ge0\)\(\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y+4\right)\le0\Leftrightarrow-4\le y\le1\)

Thay vào từng giá trị nguyên của y để tìm x=)

\(x^2+2xy+y^2+3y-4=0\)

\(\Rightarrow\Delta'=y^2-\left(2y^2+3y-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4\le y\le1\)

\(\left(x+y\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=4\)

mà 4=0^2+2^2

=>\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x+y=0\\y-\frac{3}{2}=2\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x+y=2\\y-\frac{3}{2}=0\end{cases}}\end{cases}}\)

=> giải nốt

\(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)+1-4y^2-8y-4+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1-\left(2y+2\right)^2+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2-\left(2y+2\right)^2=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-3\right)\left(x+3y+1\right)=-7\)

Từ đó tìm ước và tính.

\(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1-\left(4y^2+8y+4\right)+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2-\left(2y+2\right)^2=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1+2y+2\right)\left(x+y-1-2y-2\right)=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y+1\right)\left(x-y-3\right)=-7\)

Sau đó bạn lập luận \(x;y\in Z\)rồi tự làm nhé

b: \(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0\)

=>\(x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2-\left(4y^2+8y+4\right)=-7\)

=>\(\left(x+y-1\right)^2-\left(2y+2\right)^2=-7\)

=>(x+y-1-2y-2)(x+y-1+2y+2)=-7

=>(x-y-3)(x+3y+1)=-7

=>(y-x+3)(3y+x+1)=7

mà 7 là số nguyên tố

nên ta có các trường hợp sau:

TH1: 3y+x+1=7 và y-x+3=1

=>x+3y=6 và -x+y=-2

=>x+3y-x+y=6-2 và x-y=2

=>4y=4 và x=y+2

=>y=1 và x=1+2=3

TH2: 3y+x+1=-7 và y-x+3=-1

=>x+3y=-8 và -x+y=-4

=>x+3y-x+y=-8-4

=>4y=-12

=>y=-3

-x+y=-4

=>x-y=4

=>x=y+4=-3+4=1

TH3: 3y+x+1=1 và y-x+3=7

=>3y+x+y-x+1+3=1+7

=>4y+4=8

=>4y=4

=>y=1

y-x+3=7

=>1-x+3=7

=>4-x=7

=>x=4-7=-3