\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:

\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)

\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3

Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3

Bỏ chữ "Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz,ta có:"giùm mình,nãy đánh nhầm ở bài làm trước mà quên xóa đi!

Tham khảo câu hỏi của White Boy nhé ~"Huy"

kho....................wa..................troi.......................thi.....................ret.................lanh................wa..................tich............................ung.........................ho..............minh......................cho....................do....................lanh

Bài 2:

a: Để \(x^2+3x\) là số chính phương thì \(x^2+3x=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(4x^2+12x=4k^2\)

=>\(4x^2+12x+9=4k^2+9\)

=>\(\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)

=>(2k+3-2k)(2k+3+2k)=9

=>(2x+3-2k;2x+3+2k)∈{(1;9);(9;1);(-1;-9);(-9;-1);(3;3);(-3;-3)}

TH1: 2x+3-2k=1 và 2x+3+2k=9

=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9

=>4x+6=10

=>4x=4

=>x=1(nhận)

TH2: 2x+3-2k=9 và 2x+3+2k=1

=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9

=>4x+6=10

=>4x=4

=>x=1(nhận)

TH3: 2x+3-2k=-1 và 2x+3+2k=-9

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9

=>4x+6=-10

=>4x=-16

=>x=-4(nhận)

TH4: 2x+3-2k=-9 và 2x+3+2k=-1

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9

=>4x+6=-10

=>4x=-16

=>x=-4(nhận)

TH5: 2x+3-2k=3 và 2x+3+2k=3

=>2x+3-2k+2x+3+2k=3+3

=>4x+6=6

=>4x=0

=>x=0(nhận)

TH6: 2x+3-2k=-3 và 2x+3+2k=-3

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-3-3

=>4x+6=-6

=>4x=-12

=>x=-3(nhận)

b: Đặt \(x^2+x+6=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+24=4k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+1+23-4k^2=0\)

=>\(\left(2x+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-23\)

=>(2x+1-2k)(2x+1+2k)=-23

=>(2x+1-2k;2x+1+2k)∈{(1;-23);(-23;1);(-1;23);(23;-1)}

TH1: 2x+1-2k=1 và 2x+1+2k=-23

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23

=>4x+2=-22

=>4x=-24

=>x=-6(nhận)

TH2: 2x+1-2k=-23 và 2x+1+2k=1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23

=>4x+2=-22

=>4x=-24

=>x=-6(nhận)

TH3: 2x+1-2k=-1 và 2x+1+2k=23

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23

=>4x+2=22

=>4x=20

=>x=5(nhận)

TH4: 2x+1-2k=23 và 2x+1+2k=-1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23

=>4x+2=22

=>4x=20

=>x=5(nhận)

2.

a.

\(x^2+3x=k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x+9=4k^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3-2k\right)\left(2x+3+2k\right)=9\)

Vậy \(x=\left\{-4;-3;0;1\right\}\)

b. Tương tự

\(x^2+x+6=k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k\right)^2-\left(2x+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=23\)

Em tự lập bảng tương tự câu trên

1.

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=-4y^2+y+1\)

\(\Leftrightarrow-4y^2+y+1=\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-64y^2+16y+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(8y-1\right)^2\le17\)

\(\Rightarrow\left(8y-1\right)^2\le16\)

\(\Rightarrow-4\le8y-1\le4\)

\(\Rightarrow-\dfrac{3}{8}\le y\le\dfrac{5}{8}\)

\(\Rightarrow y=0\)

Thế vào pt ban đầu:

\(\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(1;0\right)\)

+ \(2x=3y\Rightarrow x=\frac{3y}{2}\left(1\right)\)

+ \(5y=7z\Rightarrow z=\frac{5y}{7}\left(2\right)\)

Thay (1) và (2) vào 3x - 7y + 5z = - 30

Ta có \(3.\frac{3y}{2}-7y+5.\frac{5y}{7}=-30\Rightarrow y=-28\)

Thay y = - 28 vào (1) => x = - 42

Thay y = - 28 vào (2) => x = -20

\(\frac{x}{3}=\frac{y}{2};\frac{y}{7}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}=\frac{x+y+z}{21+14+10}=\frac{3x-7y+5z}{3.21-7.14+5.10}=-\frac{30}{15}=-2\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{45}=-2\Rightarrow x+y+z=-90\)