áp dụng BDT AM-GM \(=>x+y\ge2\sqrt{xy}=>\left(x+y\right)^2\ge4xy\left(1\right)\)

mà \(x+y\le1=>\left(x+y\right)^2\le1\left(2\right)\)

(1)(2)\(=>4xy\le\left(x+y\right)^2\le1=>4xy\le1=>xy\le\dfrac{1}{4}\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1+x^2y^2}{xy}}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}+xy}\)

\(=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}+16xy-15xy}=2\sqrt{2\sqrt{16}-\dfrac{15}{4}}=\sqrt{17}\)

dấu"=" xảy ra<=>\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge4\)

Ta có:

\(A\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\left(xy+\dfrac{1}{16xy}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{1}{xy}}\)

\(A\ge2\sqrt{2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4}=\sqrt{17}\)

\(A_{min}=\sqrt{17}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(A=\frac{x^2}{y^2}+\frac{4y^2}{x^2}-\frac{x}{y}-\frac{2y}{x}+1\)

Đặt \(t = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\)

=>\(t^2 = \left(\frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{2y}{x} + \frac{4y^2}{x^2} = \frac{x^2}{y^2} + \frac{4y^2}{x^2} + 4\)

=>\(\frac{x^2}{y^2} + \frac{4y^2}{x^2} = t^2 - 4\)

Theo BĐT Cauchy, ta có:

\(\vert{}t\vert{} = \left\vert{}\frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\right\vert{} = \left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} + \left\vert{}\frac{2y}{x}\right\vert{} \ge 2\sqrt{\left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} \cdot \left\vert{}\frac{2y}{x}\right\vert{}} = 2\sqrt{2}\)

=>\(t\ge2\sqrt2;t\le-2\sqrt2\)

\(A = (t^2 - 4) - t + 1 = t^2 - t - 3\)

\(=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{4}\)

Xét hàm số \(f(t) = t^2 - t - 3\) trên tập [2\(\sqrt2\) ;+∞) và (-∞;\(-2\sqrt2\) ]

TH1: \(t\ge2\sqrt2\)

Vì trục đối xứng của f(t) là: \(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-1\right)}{2\cdot1}=\frac12<2\sqrt2\)

nên f(t) đồng biến trên khoảng [2\(\sqrt2\) ;+∞)

=>\(f(t)\ge f(2\sqrt{2})=(2\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}-3=8-2\sqrt{2}-3=5-2\sqrt{2}\)

TH2: \(t\le-2\sqrt2\)

Trên hàm số (-∞;\(-2\sqrt2\) ] thì f(t) nghịch biến

=>\(f(t)\ge f(-2\sqrt{2})=(-2\sqrt{2})^2-(-2\sqrt{2})-3=8+2\sqrt{2}-3=5+2\sqrt{2}\)

Vì \(5-2\sqrt2<5+2\sqrt2\)

nên A min=\(5-2\sqrt2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(t=2\sqrt2\)

=>\(\frac{x}{y}=\sqrt2\)

=>\(x=y\sqrt2\)

\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)

\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)

\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$

Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

\(T=\dfrac{\left(xy\right)^2}{zx+zy}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\dfrac{\left(zx\right)^2}{yx+yz}\ge\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)

Bạn nên viết lại đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

\(xy\ge2\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow x\ge\dfrac{2\left(y-1\right)}{y}\ge0\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{\dfrac{4\left(y-1\right)^2}{y^2}+4}{y^2+1}=4.\dfrac{\left(y-1\right)^2+y^2}{y^2\left(y^2+1\right)}\)

\(\dfrac{M}{4}\ge\dfrac{2y^2-2y+1}{y^4+y^2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)\left(y^3+2y^2-3y+2\right)}{4\left(y^4+y^2\right)}+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow M\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(y=2;x=1\)