ĐKXĐ: \(\begin{cases}3x^2-7x+3\ge0\\ x^2-3x+4\ge0\\ x^2-2\ge0\\ 3x^2-5x-1\ge0\end{cases}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x\le-\sqrt2\\ x\ge\frac{5+\sqrt{37}}{6}\end{array}\right.\)

BPT =>\(\sqrt{3x^2 - 7x + 3} - \sqrt{3x^2 - 5x - 1} > \sqrt{x^2 - 2} - \sqrt{x^2 - 3x + 4}\)

=>\(\dfrac{(3x^2 - 7x + 3) - (3x^2 - 5x - 1)}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}} > \dfrac{(x^2 - 2) - (x^2 - 3x + 4)}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}\)

=>\(\dfrac{-2x + 4}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}>\dfrac{3x - 6}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}\)

=>\(\dfrac{-2(x - 2)}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}-\dfrac{3(x - 2)}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}>0\)

=>\((x-2)\left[\dfrac{-2}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}-\dfrac{3}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}\right]>0\)

=>\((x - 2) \left[ \dfrac{2}{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}} + \dfrac{3}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}} \right] < 0\)

=>x-2<0

=>x<2

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left[\begin{array}{l}x\le-\sqrt2\\ \frac{5+\sqrt{37}}{6}\le x<2\end{array}\right.\)

Vậy: \(S = (-\infty, -\sqrt{2}] \cup \left[\dfrac{5+\sqrt{37}}{6}, 2\right)\)

a) \(\sqrt {x + 2}  = x\)

Điều kiện: \(x \ge 0\)

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

\(x + 2 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

b) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {{x^2} + x + 6} \)

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 2 = {x^2} + x + 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Thay vào bất phương trình \(2{x^2} + 3x - 2 \ge 0\) ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 4;2} \right\}\)

c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 1}  = x + 3\)

Điều kiện: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 3\)

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\left( {tm} \right)\\x = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 2;5} \right\}\)

b)đk:\(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Có: \(\sqrt{2x^2-1}\le\dfrac{2x^2-1+1}{2}=x^2\)

\(x\sqrt{2x-1}=\sqrt{\left(2x^2-x\right)x}\le\dfrac{2x^2-x+x}{2}=x^2\)

=>\(\sqrt{2x^2-1}+x\sqrt{2x-1}\le2x^2\) 

Dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy....

c) đk: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{x+9}-\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}\)
\(\Rightarrow x=x+9+\dfrac{8}{x+1}-4\sqrt{\dfrac{2\left(x+9\right)}{x+1}}\)

\(\Leftrightarrow0=9+\dfrac{8}{x+1}-4\sqrt{\dfrac{2\left(x+9\right)}{x+1}}\)

Đặt \(a=\sqrt{\dfrac{2\left(x+9\right)}{x+1}}\left(a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2}{2}=\dfrac{8}{x+1}\)

pttt \(9+\dfrac{a^2-2}{2}-4a=0\) \(\Leftrightarrow a=4\) (TM)

\(\Rightarrow4=\sqrt{\dfrac{2\left(x+9\right)}{x+1}}\) \(\Leftrightarrow16=\dfrac{2\left(x+9\right)}{x+1}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}\) (TM)
Vậy ...

 

a)ĐKXĐ: x≥-1/3; x≤6

<=>\(\dfrac{3x-15}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{x-5}{\sqrt{x-6}+1}+\left(x-5\right)\cdot\left(3x+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)\cdot\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x-6}+1}+3x+1\right)=0\Leftrightarrow x-5=0\Leftrightarrow x=5\)(nhận)

(vì x≥-1/3 nên3x+1≥0 )

a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 9\\ \Rightarrow {x^2} + 3x - 8 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\)

b) \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - x - 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - x - 4 = {x^2} + 4x + 4\\ \Rightarrow 5x =  - 8\\ \Rightarrow x =  - \frac{8}{5}\end{array}\)

Thay \(x =  - \frac{8}{5}\) và phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\) ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - \frac{8}{5}\)

c) \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {12 - 2x}  = x - 2\\ \Rightarrow 12 - 2x = {\left( {x - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow 12 - 2x = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 2\) và \(x = 4\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\) thì thấy chỉ có \(x = 4\) thỏa mãn

Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

d) Ta có biểu thức căn bậc hai luôn không âm nên \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  =  - 5\) (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

ĐKXĐ: 0<=x<=3/2

\(-3x^2 + x + 3 + (\sqrt{3x + 2} - 4)\sqrt{3x - 2x^2} + (x - 1)\sqrt{3x + 2} = 0 \quad (1)\)

=>\(-3x^2 + x + 3 + \sqrt{3x + 2} \cdot \sqrt{3x - 2x^2} - 4\sqrt{3x - 2x^2} + (x - 1)\sqrt{3x + 2} = 0\)

Đặt \(u=\sqrt{3x + 2}\ge0;v=\sqrt{3x - 2x^2}\ge0\)

Phương trình sẽ trở thành: \(-3x^2 + x + 3 + uv - 4v + (x - 1)u = 0\)

=>\(v^2-(x-1)(x+3)+uv-4v+(x-1)u=0\)

\(\iff\Big[v^2+uv-(x+3)v-v\Big]+(x-1)u-(x-1)(x+3)=0\)

=>\((x-1+v)\left(\sqrt{3x - 2x^2}+\sqrt{3x + 2}-3x-1\right)=0\)

=>\(\left(x - 1 + \sqrt{3x - 2x^2}\right)\left(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 2x^2} - 3x - 1\right) = 0\)

TH1: \(x - 1 + \sqrt{3x - 2x^2} = 0\)

=>\(\sqrt{3x - 2x^2}=1-x\)

=>1-x>=0 và \(3x-2x^2=\left(1-x\right)^2\)

=>x<=1 và \(3x-2x^2-x^2+2x-1=0\)

=>x<=1 và \(-3x^2+5x-1=0\)

=>\(x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\)

TH2: \(\sqrt{3x + 2} + \sqrt{3x - 2x^2} - 3x - 1 = 0\)

=>\(\sqrt{3x + 2}+\sqrt{3x - 2x^2}=3x+1\)

=>\((3x + 2) + (3x - 2x^2) + 2\sqrt{(3x + 2)(3x - 2x^2)} = (3x + 1)^2\)

=>\(6x+2-2x^2+2\sqrt{-6x^3 + 5x^2 + 6x}=9x^2+6x+1\)

=>\(2\sqrt{-6x^3 + 5x^2 + 6x}=11x^2-1\)

=>\(4(-6x^3 + 5x^2 + 6x) = (11x^2 - 1)^2\) và \(11x^2-1\ge0\)

=>\(-24x^3+20x^2+24x=121x^4-22x^2+1\) và \(11x^2\ge1\)

=>\(121x^4+24x^3-42x^2-24x+1=0\) và \(x^2\ge\frac{1}{11}\)

=>x≃0,6092(nhận)

a: ĐKXĐ: 2-|x-2|>=0

=>|x-2|<=2

=>-2<=x-2<=2

=>0<=x<=4

TH1: 0<=x<2

=>x-2<0

mà \(\sqrt{2-\left|x-2\right|}>=0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

nên \(\sqrt{2-\left|x-2\right|}\) >x-2 với mọi x thỏa mãn

=>NHận

=>0<=x<2

TH2: 2<=x<=4

\(\sqrt{2-\left|x-2\right|}>x-2\)

=>\(2-\left|x-2\right|\ge\left(x-2\right)^2\)

=>\(\left(x-2\right)^2\le2-\left(x-2\right)=2-x+2=4-x\)

=>\(x^2-4x+4\le4-x\)

=>\(x^2-3x\le0\)

=>x(x-3)<=0

=>0<=x<=3

=>2<=x<=3

Vậy: 0<=x<=3

b: \(x^2+3x+2\ge2\cdot\sqrt{x^2+3x+5}\)

=>\(x^2+3x+5-2\sqrt{x^2+3x+5}-3\ge0\)

=>\(\left(\sqrt{x^2+3x+5}-3\right)\left(\sqrt{x^2+3x+5}+1\right)>=0\)

=>\(\sqrt{x^2+3x+5}-3\ge0\)

=>\(\sqrt{x^2+3x+5}\ge3\)

=>\(x^2+3x+5\ge9\)

=>\(x^2+3x-4\ge0\)

=>(x+4)(x-1)>=0

=>x>=1 hoặc x<=-4

1.

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{3+\sqrt{41}}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1+2\sqrt{x\left(x^2-1\right)}=2x^2-3x-4\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-3-2\sqrt{\left(x^2-x\right)\left(x+1\right)}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-x}=a>0\\\sqrt{x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-3b^2-2ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=3b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x}=3\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=9\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow...\) (bạn tự hoàn thành nhé)

2.

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a\ge0\) pt trở thành:

\(x^3+3\left(x^2-4a^2\right)a=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3ax^2-4a^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+2a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=x\\2a=-x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=x\left(x\ge0\right)\\2\sqrt{x+1}=-x\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=x+1\\x^2=4x+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-1=0\\x^2-4x-4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=2-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)