1: Xét tứ giác OAMB có \(\hat{OAM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn

Tâm I là trung điểm của OM

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥CD tại H

=>ΔOHM vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính OM

=>H nằm trên (I)

1: Xét tứ giác OAMB có \(\hat{OAM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn

Tâm I là trung điểm của OM

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥CD tại H

=>ΔOHM vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính OM

=>H nằm trên (I)

1: Gọi số cần tìm là a

Theo đề, ta có: a-1 chia hết cho 5 và a-3 chia hết cho 7

mà a nhỏ nhất

nên a=31

2: TH1: p=3

=>p^2+4=13 và p^2-4=5

=>NHận

Th2: p=3k+1

p^2-4=(3k+1-2)(3k+1+2)

=3(k+1)(3k-1) 

=>Loại

TH3: p=3k+2

=>p^2-4=9k^2+12k+4-4

=9k^2+12k=3(3k^2+4k) 

=>Loại

Sửa đề: A là điểm chính giữa của cung BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>AB⊥CA

mà AB//CD(ABCD là hình bình hành)

nên CA⊥CD

Xét tứ giác AHCD có \(\hat{AHD}=\hat{ACD}=90^0\)

nên AHCD là tứ giác nội tiếp

b: Sửa đề: \(\hat{AOE}=2\cdot\hat{CAH}\)

Xét (O) có \(\hat{ABE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

=>\(\hat{AOE}=2\cdot\hat{ABE}\)

mà \(\hat{ABE}=\hat{CDE}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{AOE}=2\cdot\hat{CDE}\)

mà \(\hat{CDE}=\hat{CAH}\) (AHCD nội tiếp)

nên \(\hat{AOE}=2\cdot\hat{CAH}\)

Lời giải:

a. Xét tam giác $HDE$ và $HGE$ có:
$EH$ chung

$DE=GE$ (gt)

$HD=HG$ (do $H$ là trung điểm $DG$)

$\Rightarrow \triangle HDE=\triangle HGE$ (c.c.c)

b. Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $\widehat{E_1}=\widehat{E_2}$

Xét tam giác $EDI$ và $EGI$ có:

$\widehat{E_1}=\widehat{E_2}$ (cmt)

$ED=EG$ (gt)

$EI$ chung

$\Rightarrow \triangle EDI=\triangle EGI$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{EGI}=\widehat{EDI}=90^0$

$\Rightarrow IG\perp GE$ (đpcm)

Hình vẽ:

1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD