1. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+1 không chia hết cho 5

Giải:

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên(Đpcm)

2. Chứng tỏ rằng số A = 9^11 +1 chia hết cho cả 2 và 5

A = (9\(^2\))\(^5\).9 + 1

A = \(\overline{..1}^5\).9 + 1

A = \(\overline{..9}\) + 1

A = \(\overline{..0}\)

A chia hết cho 2 và 5 (đpcm)

1/2^2<1/1*2

1/3^2<1/2*3

...

1/n^2<1/(n-1)*n

=>1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1-1/n=1-1/n=(n-1)/n<1

ai giúp đỡ còn 3 **** lên hạng 18

hình như đề sai hay sao ý, mk c/m ko ra

Đặt \(A_k=1+2+3+4+.....+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\Rightarrow A_k^2=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}\)

\(A_{k-1}=1+2+3+4+.....+\left(k-1\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}\Rightarrow A_{k-1}^2=\frac{k^2\left(k-1\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow A_k^2-A_{k-1}^2=\frac{k^2\left(k+1\right)^2-k^2\left(k-1\right)^2}{4}=\frac{k^2\left(k^2+2k+1-k^2+2k-1\right)}{4}=\frac{4k^3}{4}=k^3\)

Khi đó:

\(1^3=A_1^2\)

\(2^3=A_2^2-A_1^2\)

\(3^3=A_3^2-A_2^2\)

\(.........................................................................................\)

\(n^3=A_n^2-A_{n-1}^2\)

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+.....+n^3=A_n^2=\left(1+2+3+......+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Đề ghi sót . Vế cuối là móc vuông đó bình phương chư

Ta có :

\(3^n+3^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+3}\)

\(=3.\left(3^{n-1}+3^n\right)+2.\left(2^{n+1}+2^{n+2}\right)\)

Số này vừa chia hết cho 3 ; vừa chia hết cho 2 nên chia hết cho 6

Ta có :

\(\sqrt{1+2+...+n-1+n+n-1+...+2+1}\)

=\(\sqrt{2\left(1+2+...+n-1\right)+n}\)

=\(\sqrt{\dfrac{2\left(n-1\right)n}{2}+n}=\sqrt{n^2}=n\)

Chúc Bạn Học Tốt ,Cô @Bùi Thị Vân kiểm tra giùm em với ạ