10³³  + 8 có tận cùng là 8 => 10³³ + 8 chia hết cho 2

10³³ + 8  có tổng các chữ số là 9 => 10³³ + 8 chia hết cho 9

10¹⁰  + 14 có tận cùng là 4 => 10¹⁰ + 14 chia hết cho 2

10¹⁰ + 14  có tổng các chữ số là 15 => 10¹⁰ + 14 chia hết cho 3

a) 2n + 111...1 = 3n + (111..1 - n)

         n chữ số          n chữ số

Vì 1 số và tổng các chữ của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3 => 2n + 111...1 chia hết cho 3

b) 10ⁿ + 18n - 1

= 100...0 - 1 - 9n + 27n

 n chữ số 0

= 999...9 - 9n + 27

n chữ số 9

= 9.(111..1 - n) + 27n

    n chữ số 1

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n chia hết cho 3

=> 9.(111...1 - n) chia hết cho 27; 27n chia hết cho 27

=> 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27

c) 10ⁿ + 72n - 1

= 100...0 - 1 + 72n

n chữ số 1

= 999...9 - 9n + 81n

n chữ số 9

= 9.(111...1 - n) + 81n

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 => 111...1 - n chia hết cho 9

Tiếp theo làm tương tự câu trên . 

vi no chia het cho 3 suy ra no chia het cho 3

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

A = 2n + \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

A = 3n + \(\overline{11\ldots111}\) - n

Đặt B = 3n; Đặt C = \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1); D = n

3n ⋮ n nên B chia hết cho 3 (1)

C = \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

Tổng chữ số của C là:

1 + 1 + 1 + ... + 1 = n

Vậy số dư của C khi chia cho 3 chính là số dư của n khi chia cho 3 nên C có cùng số dư với D khi chia cho 3

Vì hai số có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu hai số chia hết cho 3 suy ra:

C - D chia hết cho 3 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

B + C - D chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3 (đpcm)

Câu b:

Với n = 1 thì

10^n + 18^n - 1 = 10^1 + 18^0 = 10 + 1 = 11

11 không chia hết cho 27

Vậy việc chứng minh 10^n + 18^n - 1 chia hết cho 27 với mọi n là số tự nhiên là không thể.