Câu 1.
Ta có
x^2 - y^2 + x^2y - xy = x + 14

Chuyển vế:
x^2 - y^2 + x^2y - xy - x - 14 = 0

Nhóm hạng tử:
x^2(y + 1) - x(y + 1) - y^2 - 14 = 0

Suy ra
(y + 1)(x^2 - x) = y^2 + 14

Mà
y^2 + 14 = y^2 - 1 + 15 = (y - 1)(y + 1) + 15

Nên
(y + 1)(x^2 - x) = (y + 1)(y - 1) + 15

Suy ra
(y + 1)(x^2 - x - y + 1) = 15

Vì x, y là số nguyên dương nên y + 1 là ước dương của 15
Lại có y ≥ 1 nên y + 1 ≥ 2
Do đó
y + 1 ∈ {3, 5, 15}

Trường hợp 1:
y + 1 = 3 ⇒ y = 2
khi đó
x^2 - x - 2 + 1 = 15/3 = 5
⇒ x^2 - x = 6
⇒ x = 3

Trường hợp 2:
y + 1 = 5 ⇒ y = 4
khi đó
x^2 - x - 4 + 1 = 15/5 = 3
⇒ x^2 - x = 6
⇒ x = 3

Trường hợp 3:
y + 1 = 15 ⇒ y = 14
khi đó
x^2 - x - 14 + 1 = 15/15 = 1
⇒ x^2 - x = 14
⇒ phương trình vô nghiệm nguyên

Vậy các cặp nghiệm nguyên dương là
(x; y) = (3; 2), (3; 4)

\(x^2+x+xy-2y^2-y=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x+2xy-4y^2-2y=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)\)\(-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2+\left(x+y\right)^2-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2-4y^2\right]+\left[\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2\right]=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1+x-1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(2x-2y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Vì \(x,y>0\left(x,y\inℤ\right)\Rightarrow x+2y+1\inℤ^+\)

Mà \(\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Do đó \(\left(x-y\right)\inℤ^+\)

Vì \(x+2y+1\ge x-y>0\)(vì \(x;y\in Z^+\))

\(\Rightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5.1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y+2=5\\x=y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=3\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)(thỏa mãn \(x,y\inℤ^+\))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

Lưu ý : tớ ghi \(ℤ^+\)là chỉ số nguyên dương, ghi vào vở bạn nên ghi là "số nguyen dương" thôi.

\(pt\Leftrightarrow x^2-x+2x-2+2y^2-2xy^2+y-xy=1\\ \Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(2y^2+y-x-2\right)=1\)

e tự xét 2 th ra

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

=> 5x² + 5xy + 5y² = 7x + 14y

=> 5x² + 5xy - 7x + 5y² - 14y = 0 

=> 5x² + (5y -7).x + (5y²  - 14y) = 0   (*)

Tính \(\Delta\) = (5y - 7)² - 4.5.(5y²  - 14y) = -75y² + 210y + 49  

Để x nguyên thì \(\Delta\) là số chính phương <=> -75y² + 210y + 49  = k² ( với k nguyên)

=> - 3. (25y² - 2.5y.7 + 49) + 196 = k²

=> -3.(5y - 7)² + 196 = k²

=> 3.(5y - 7)² + k² = 196 => 3. (5y-7)²  \(\le\) 196 => (5y - 7)²  \(\le\) 66 =>-8  \(\le\)  5y - 7 \(\le\) 8

=> -1/5  \(\le\) y \(\le\) 3

y nguyên nên y có thể bằng 0; 1;2;3

Với tưng giá trị của y ta thay vào (*) => x 

Các giá trị x; y nguyên tìm được là các giá trị thỏa mãn yêu cầu

a) \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)

\(\Leftrightarrow2xy^2+x+y-x^2-2y^2-xy=-1\)

\(\Leftrightarrow2xy^2-2y^2+x-x^2+y-xy=-1\)

\(\Leftrightarrow2y^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2y^2-x-y\right)=-1\)

Để x nguyên thì x - 1 nguyên. Vậy thì \(x-1\in\left\{-1;1\right\}\)

Với x = 1, ta có \(2y^2-1-y=-1\Rightarrow2y^2-y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

Với x = -1, ta có \(2y^2+1-y=1\Rightarrow2y^2+y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{-1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) hoặc (-1; 0).