\(a,f\left(x\right):g\left(x\right)=\left(3x^4+9x^3+7x+2\right):\left(x+3\right)\\ =\left[3x^3\left(x+3\right)+7\left(x+3\right)-19\right]:\left(x+3\right)\\ =\left[\left(3x^3+7\right)\left(x+3\right)-19\right]:\left(x+3\right)\\ =3x^3+7.dư.19\)

\(c,\) Để \(k\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Leftrightarrow-x^3-5x+2m=\left(x+3\right)\cdot a\left(x\right)\)

Thay \(x=-3\)

\(\Leftrightarrow-\left(-3\right)^3-5\left(-3\right)+2m=0\\ \Leftrightarrow27+15+2m=0\\ \Leftrightarrow2m=-42\\ \Leftrightarrow m=-21\)

Lời giải:
a. $f(x)=x^4-3x^2+2x-7=x^3(x+2)-2x^2(x+2)+x(x+2)-7$

$=(x+2)(x^3-2x^2+x)-7=g(x)(x^3-2x^2+x)-7$

Vậy $f(x)$ chia $g(x)$ được thương là $x^3-2x^2+x$ và dư là $-7$

b. Theo phần a $f(x)=(x^3-2x^2+x)g(x)-7$

Với $x$ nguyên, để $f(x)\vdots g(x)$ thì $7\vdots g(x)$

$\Leftrightarrow x+2$ là ước của $7$

$\Rightarrow x+2\in\left\{\pm 1;\pm 7\right\}$

$\Leftrightarrow x\in\left\{-3; -1; 5; -9\right\}$

c.

Theo định lý Bezout về phép chia đa thức, để $K(x)=-2x^3+x-m\vdots x+2$ thì: $K(-2)=0$

$\Leftrightarrow -2(-2)^3+(-2)-m=0$

$\Leftrightarrow 14-m=0$

$\Leftrightarrow m=14$

a: f(x) chia hết cho g(x)

=>2x^2+4x-x-2+a+2 chia hết cho x+2

=>a+2=0

=>a=-2

b: f(x) chia hết cho g(x)

=>3x^2+6x+(m-6)x+2m-12-2m+7 chia hết cho x+2

=>-2m+7=0

=>m=7/2

Ta có: \(f\left(x\right)=x^4+mx^3+21x^2+x+n\)

\(=x^4-x^3-2x^2+\left(m+1\right)x^3-\left(m+1\right)x^2-\left(2m+2\right)x\) +(m+23)\(x^2\) -(m+23)x-(2m+46)+x(2m+2+m+23+1)+n+2m+46

\(=\left(x^2-x-2\right)\left(x^2+\left(m+1\right)\cdot x+m+23\right)\) +x(3m+26)+n+2m+46

Để f(x) chia hết cho g(x) thì 3m+26=0 và n+2m+46=0

=>3m=-26 và n=-2m-46

=>\(m=-\frac{26}{3};n=-2m-46=-2\cdot\frac{-26}{3}-46=\frac{52}{3}-46=\frac{-86}{3}\)

a)\(f\left(x\right)=5x^3-9x^2+2x+m=5x^2\left(x+2\right)-19x\left(x+2\right)+40\left(x+2\right)-80+m=\left(x+2\right)\left(5x^2-19x+40\right)+m-80\)

Để \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\) thì \(m-80=0\Leftrightarrow m=80\)

b) \(f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(5x^2-19x+40\right)+m-80\)

Để f(x) chia g(x) có số dư bằng 3 thì \(m-80=3\Leftrightarrow m=83\)

f(x)⋮g(x)

=>\(x^3+5x^2+3x+m\) ⋮\(x^2+4x+1\)

=>\(x^3+4x^2+x+x^2+4x+1-2x-m-1\) ⋮\(x^2+4x+1\)

=>-2x-m-1=0

=>2x+m+1=0

=>m=-2x-1

a: Thay a=2 vào f(x), ta được:

f(x)=3x-2

f(x):g(x)

\(=\dfrac{3x-2}{x-1}\)

\(=\dfrac{3x-3+1}{x-1}\)

\(=3+\dfrac{1}{x-1}\)