a/ \(\frac{2n+7}{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+5}{n+1}=2+\frac{5}{n+1}.\)

\(2n+7⋮n+1\) khi \(5⋮n+1\) hay n+1 là USC của 5 => n+1={-5;-1;1;5} => n={-6;-2;0;4}

b/

\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...2^{2019}\)

\(\Rightarrow A=2A-A=2^{2019}-1\)

=> A, B là 2 số tự nhiên liên tiếp

a ) A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸ + 3²⁰¹⁹

A = ( 3 + 3² + 3³ ) + ... + ( 3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸ + 3²⁰¹⁹ )

A = 3 . ( 1 + 3 + 3² ) + ... + 3²⁰¹⁷ . ( 1 + 3 + 3² )

A = 3 . 13 + ... + 3²⁰¹⁷ . 13

A = 13 . ( 3 + ... + 3²⁰¹⁷ ) \(⋮\)13

Do đó : A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸ + 3²⁰¹⁹ \(⋮\)13

b ) Ta có : A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸ + 3²⁰¹⁹

A = 3 . ( 1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰¹⁶ + 3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸ ) \(⋮\)3 ( 1 )

Ta lại có : A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁸ + 3²⁰¹⁹

A = 3 + 3² . ( 1 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁷ ) chia cho 9, dư 3 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)A không phải là bình phương của một số tự nhiên

Bạn ơi dòng 3

3.(1+3+3^2) là tính như nào vạy

a)A=(3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+...+(3^2017+3^2018+3^2019)

A=(3+3^2+3^3)+3^3x(3+3^2+3^3)+...+3^2016x(3+3^2+3^3) suy ra A chia hết cho (3+3^2+3^3)

Mà (3+3^2+3^3)=39;39 chia hết cho 13 nên A chia hết cho 13

Ta có $A=1\cdot2\cdot3\cdots2018\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{2018}\right).$

Đặt $2018!=1\cdot2\cdot3\cdots2018.$

Khi đó $A=2018!\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1{2018}\right)$

$=2018!+\dfrac{2018!}{2}+\dfrac{2018!}{3}+\cdots+\dfrac{2018!}{2018}.$

Vì mỗi số $\dfrac{2018!}{k}\ (k=1,2,\ldots,2018)$ đều là số nguyên nên $A$ là số tự nhiên.

Ta lại có $\dfrac{2018!}{k}=\dfrac{2018!}{2019-k}.$

Do đó $\dfrac{2018!}{k}+\dfrac{2018!}{2019-k}=\dfrac{2018!(2019-k)+2018!k}{k(2019-k)}$

$=\dfrac{2018!\cdot2019}{k(2019-k)}$ chia hết cho $2019.$

Ghép các cặp

$\left(\dfrac{2018!}{1},\dfrac{2018!}{2018}\right),\ \left(\dfrac{2018!}{2},\dfrac{2018!}{2017}\right),\ \ldots,\ \left(\dfrac{2018!}{1009},\dfrac{2018!}{1010}\right),$

ta thấy mỗi cặp đều chia hết cho $2019.$

Suy ra tổng của tất cả các cặp, tức là $A$, chia hết cho $2019.$

Vậy $A$ là số tự nhiên và $A\vdots2019.$

Căn bậc 2 của 1 là 1,của 2018 bình phương là 2018,2018 bình phương/2019 bình phương là 2018/2019 nên cái căn đó có giá trị là 1+2018+2018/2019 nha.bn lấy 2018/2019+2018/2019 nếu là số tự nhiên thì biểu thức này là STN

\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(1+2.2018+2018^2\right)-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{2019^2-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(2019-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\left|2019-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\) là số tự nhiên ( đpcm ) 

... 

Đặt \(K\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow K\left(2016\right)=K\left(2017\right)=K\left(2018\right)=K\left(2019\right)=0\)

Vì P(x) có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên K(x) cũng có hệ số của bậc cao nhất bằng 1

Do đó K(x) có dạng \(\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)

Lúc đó \(P\left(x\right)=\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)

\(+\left(x+1\right)\Rightarrow P\left(2020\right)=2045⋮5\)

Vậy P(2020) là một số tự nhiên chia hết cho 5 (đpcm)

$\textbf{a)}$

Ta có $A=1+6+6^2+\cdots+6^9.$

Vì $6\equiv-1\pmod7,$ nên $6^k\equiv(-1)^k\pmod7.$

Suy ra $A\equiv1-1+1-1+1-1+1-1+1-1\equiv0\pmod7.$

Vậy $A\vdots7.$

$\textbf{b)}$

Ta có $2018^{2019}$ là số chẵn.

Suy ra $2018^{2019}+1$ và $2018^{2019}-1$ đều là số lẻ.

Lại có $\left(2018^{2019}+1\right)-\left(2018^{2019}-1\right)=2.$

Giả sử cả hai số đều là số nguyên tố.

Khi đó chúng là hai số nguyên tố lẻ hơn kém nhau $2$.

Trong ba số liên tiếp $2018^{2019}-1,\;2018^{2019},\;2018^{2019}+1,$ có một số chia hết cho $3$.

Vì $2018^{2019}\equiv2^{2019}\equiv2\pmod3,$ nên $2018^{2019}+1\equiv0\pmod3.$

Mà $2018^{2019}+1>3,$ nên $2018^{2019}+1$

không phải là số nguyên tố. (mâu thuẫn).

Vậy hai số $2018^{2019}+1$ và $2018^{2019}-1$

không thể đồng thời là số nguyên tố.

a) Lập bảng

Ta có: 2018 : 4 = 504 (dư 2)

Suy ra \(2017^{2018}+2019^{2018}= \overline{...9}+\overline{...1}=\overline{...0}\)

Vậy 2017²⁰¹⁸ + 2019²⁰¹⁸ chia hết cho 10

b) Làm tương tự như câu a)