Ta có hình vẽ:

A B C M N G E F

a/ Ta có: M là trung điểm BG

F là trung điểm AB

=> MF là đường trung bình

=> MF = 1/2 AG và MF // AG (1)

Ta có: N là trung điểm CG

E là trung điểm của AC

=> NE là đường trung bình

=> NE = 1/2 AG và NE // AG (2)

Từ (1) và (2) => MF // NE và MF = NE

Vậy MNEF là hình bình hành

b/ Để MNEF là hình chữ nhật thì

ME = NF => MG = NG => BE = CF

hay tam giác ABC cân tại A

Ôi.... Bn trả lời hết thế này thì còn chỗ nào cho bn mk trả lời nữa...-_-

a. trong tam giác cân 2 đường trung tuyến ở góc đáy bằng nhau nên CF=BE (1)

vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GC=2/3 FC ;BG= 2/3 BE (2)

tu 1 va 2 suy ra CG=BG

suy ra tam giác BGC cân tại G

c. Xet tam giac AMB va tam giac AMC co

                       AB=AC

                      ABC=ACB

                      AM chung

    suy ra tam giac AMB= tam giac AMC 

suy ra MB=MC

Suy ra AM la trung tuyen

suy ra G thuộc đường thẳng AM

Suy ra A,G,M thẳng hàng

b. tren tia doi FE lay diem K sao cho EK=EF

xet tg AEF = tg CEK ( c.g.c )

suy ra BA song song KC, AF=FB=KC

nối B với K

xet tam giac FBK = tg CKB ( c.g.c )

suy ra FE song song BC

bán xoi tam  3 câu trước đi nhé để mik suy nghĩ câu d

câu d mik chứng minh phản chứng nếu bạn thấy sai chỗ nào bảo mik nhé

Vì G là trọng tâm nên GE=1/3BE suy ra 3GE=BE

TH1: nếu AE>3GE suy ra AE>BE

suy ra EC>BE 

suy ra gEBC>gECB ( vô lý vì gECB=gEBC )

TH2: AE=3GE suy ra AE=BE

suy ra EC=BE

suy ra tg EBC can tai E

suy ra gEBC=gECB ( vo ly vi gECB=gFBC )

vay AE<3GE 

Hì mik cùng bằng lớp bạn nên thấy mik làm sai thì chỉ bảo mik nha

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường trung tuyến

BE cắt CF tại O

Do đó: O là trọng tâm của ΔABC

=>BO=2OE; CO=2OF

BO=2OE

OK=2OE

Do đó: BO=OK

=>O là trung điểm cua BK

CO=2OF

OI=2OF

Do đó: CO=OI

=>O là trung điểm của CI

Xét tứ giác AOCK có

E là trung điểm chung của AC và OK

=>AOCK là hình bình hành

=>AK//CO và AK=CO

AK//CO

=>AK//OI

Xét tứ giác AIBO có

F là trung điểm chung của AB và IO

=>AIBO là hình bình hành

=>AI//BO

=>AI//OK

Ta có: \(AF=FB=\frac{AB}{2}\)

\(AE=EC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AF=FB=AE=EC

Xét ΔAEB và ΔAFC có

AE=AF

\(\hat{EAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>BE=CF

mà \(BO=\frac23BE;CO=\frac23CF\)

nên BO=CO

BO=OK

CO=OI

mà BO=CO

nên OK=OI

Xét tứ giác AIOK có

AI//OK

AK//OI

Do đó: AIOK là hình bình hành

Hình bình hành AIOK có OI=OK

nên AIOK là hình thoi

=>AO⊥IK tại trung điểm của mỗi đường

=>AO⊥IK tại G và G là trung điểm chung của AO và IK

Ta có: BK=2BO

CI=2CO

mà BO=CO

nên BK=CI

Xét tứ giác BCKI có

O là trung điểm chung của BK và CI

=>BCKI là hình bình hành

Hình bình hành BCKI có BK=CI

nên BCKI là hình chữ nhật

=>\(\hat{IBC}=\hat{KCB}=\hat{BIK}=\hat{IKC}=90^0\)

=>MI⊥IK tại I

AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

mà MI⊥BC

nên MI//AO

Xét tứ giác AMIO có

AM//IO

AO//MI

Do đó: AMIO là hình bình hành

=>MI=AO

mà AO=CK

nên MI=CK

Xét tứ giác MICK có

MI//CK

MI=CK

Do đó: MICK là hình bình hành

=>MC cắt IK tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của IK

nên G là trung điểm của MC

=>M,G,C thẳng hàng

Ta chứng minh được \(FI;KE\) là đtb tam giác AGB;AGC

Do đó \(FI=KE=\dfrac{1}{2}AG;FI//KE\left(//AG\right)\)

Vậy FEKI là hbh

Lời giải:
Vì $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AC, AB$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow EF=\frac{1}{2}BC$ và $EF\parallel BC$ (1)

Vì $K, I$ lần lượt là trung điểm $GC, GB$ nên $KI$ là đtb của tam giác $GBC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow KI=\frac{1}{2}BC$ và $KI\parallel BC$ (2)

Từ $(1); (2)$ suy ra $EF\parallel KI$ và $EF=KI$

Tứ giác $FEKI$ có 2 cạnh đối $EF, KI$ song song và bằng nhau nên là hbh. Ta có đpcm.

Hình vẽ:

bạn vẽ hình ra giấy rồi xem bài mình nhé

a) vì MF ; NE lần lượt là đường trung bình của tg BGA và CGA

=> MF // NE và MF = NE

=> FENM là hbhành

b) Nếu MNEF là hcn

=> FN = ME

mà FN = 2/3 FC ; EM = 2/3 BE

=> BE = CF

tg ABC có BE và CF là 2 đường trung tuyến ứng với cạnh AC và AB bằng nhau

=> tg ABC cân ở A