\(a,\) \(\left(d\right)\) đi qua \(A\left(1;2\right)\Leftrightarrow x=1;y=2\)

\(\Leftrightarrow2=m+1-2m+3\Leftrightarrow m=2\)

\(b,m=2\Leftrightarrow\left(d\right):y=3x-2\cdot2+3=3x-1\)

\(y=2\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow A\left(1;2\right)\\ y=5\Leftrightarrow x=2\Leftrightarrow B\left(2;5\right)\)

Bài 2:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

x-2=2-x

\(\Leftrightarrow2x=4\)

hay x=2

Thay x=2 vào (d1), ta được:

y=2-2=0

Thay x=2 và y=0 vào (d3), ta được:

2(2-m)+1=0

\(\Leftrightarrow4-2m+1=0\)

hay \(m=\dfrac{5}{2}\)

a: y=(m-1)x+m

=mx+m-x

=m(x+1)-x

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\begin{cases}x+1=0\\ y=-x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ y=-\left(-1\right)=1\end{cases}\)

=>M(-1;1)

b: Gọi phương trình đường thẳng OM là (d2): y=ax+b(a<>0)

Thay x=0 và y=0 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot0+b=0\)

=>b=0

=>y=ax

Thay x=-1 và y=1 vào y=ax, ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)=1\)

=>a=-1

=>y=-x

c: y=(m-1)x+m

=>(m-1)x-y+m=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=\frac{m}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>m-1=0

=>m=1

1:

a: y=(m-1)x+m

=>x(m-1)-y+m=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\frac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=1\)

=>\(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}=\left|m\right|\)

=>\(\left(m-1\right)^2+1=m^2\)

=>\(m^2-2m+1+1=m^2\)

=>-2m=-2

=>m=1

b: (d): y=(m-1)x+m

=mx-x+m

=m(x+1)-x

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

x+1=0 và y=-x

=>x=-1 và y=-x=1

Bài 2:

Gọi α là góc tạo bởi (d1) và trục Ox

tan α=a=1

=>α=45 độ

1:

a: y=(m-1)x+m

=>x(m-1)-y+m=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\frac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=1\)

=>\(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}=\left|m\right|\)

=>\(\left(m-1\right)^2+1=m^2\)

=>\(m^2-2m+1+1=m^2\)

=>-2m=-2

=>m=1

b: (d): y=(m-1)x+m

=mx-x+m

=m(x+1)-x

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

x+1=0 và y=-x

=>x=-1 và y=-x=1

Bài 2:

Gọi α là góc tạo bởi (d1) và trục Ox

tan α=a=1

=>α=45 độ

\(a,\) Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của \(\left(d\right)\) với trục hoành và trục tung

Khi \(x=0\Rightarrow y=m\Rightarrow M\left(0;m\right)\)

Khi \(y=0\Rightarrow\left(m-1\right)x+m=0\Rightarrow x=\dfrac{-m}{m-1}\Rightarrow N\left(\dfrac{-m}{m-1};0\right)\)

Gọi H là chân đg vuông góc kẻ từ O đến MN

Áp dụng HTL:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{-m}{m-2}\right)^2}\\ \Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2}{m^2}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow4\left(m-2\right)^2=3m^2\\ \Rightarrow4m^2-16m+16-3m^2=0\\ \Rightarrow m^2-16m+16=0\\ \Delta=256-4\cdot16=192\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{16-8\sqrt{3}}{2}=8-4\sqrt{3}\\m=\dfrac{16+8\sqrt{3}}{2}=8+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Giả sử A là điểm cố định của \(y=\left(m-1\right)x+m\). Khi đó \(\left(d\right)\) luôn đi qua A với mọi m. Xét \(m=1\Rightarrow y=1\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua điểm có tung độ bằng 1

Với \(m=2\Rightarrow2=\left(2-1\right)x+2\Rightarrow x=0\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua điểm \(A\left(0;1\right)\)

 Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của  với trục hoành và trục tung

Khi 

Khi 0

Gọi H là chân đg vuông góc kẻ từ O đến MN

Áp dụng HTL:

1:

a: y=(m-1)x+m

=>x(m-1)-y+m=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\frac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=1\)

=>\(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}=\left|m\right|\)

=>\(\left(m-1\right)^2+1=m^2\)

=>\(m^2-2m+1+1=m^2\)

=>-2m=-2

=>m=1

b: (d): y=(m-1)x+m

=mx-x+m

=m(x+1)-x

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

x+1=0 và y=-x

=>x=-1 và y=-x=1

Bài 2:

Gọi α là góc tạo bởi (d1) và trục Ox

tan α=a=1

=>α=45 độ

a: Thay x=-3 và y=15 vào (d), ta được:

-3(3-a)+a=15

=>-9+3a+a=15

=>4a=9+15=24

=>a=6

Khi a=6 thì (d): y=(3-6)x+6=-3x+6

Vẽ đồ thị

b: Tọa độ B là:

\(\begin{cases}y=0\\ -3x+6=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ -3x=-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=2\end{cases}\)

=>B(2;0)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=-3\cdot0+6=6\end{cases}\)

=>C(0;6)

c: (d): y=-3x+6

=>y+3x-6=0

=>3x+y-6=0

Khoảng cách từ D(1;-2) đến (d) là:

\(\frac{\left|1\cdot3+1\cdot\left(-2\right)-6\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{\left|3-2-6\right|}{\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)