A B C M N P I H O

a) MP // AC => ^MPB=^CAB; ^PMB=^ACB. Mà ^CAB=^ACB=60⁰

=> ^MPB=^PMB=60⁰ => Tam giác BPM là tam giác đều (đpcm).

b) Tam giác BPM là tam giác đều (cmt) => PM=BP

Ta có: PM//AN; M//AP => PM=AN (Tính chất đoạn chắn)

=> BP=AN.

Tam giác ABC đều và O là trọng tâm nên ta có: ^OBA=^OAC=30⁰ hay ^OBP=^OAN và OB=OA

Xét tam giác OAN và tam giác OBP: BP=AN; OA=OB; ^OAN=^OBP 

=> Tam giác OAN= Tam giác OBP (đpcm)

c) Tam giác AIP=Tam giác MIN (g.c.g) => IP=IN hay I là trung điểm của NP

Tam giác OAN=Tam giác OBP (cmt) => ON=OP => O nằm trên trung trực của NP (1)

HP=HN => H nằm trên trung trực của NP (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với I là trung điểm của NP => H;I;O thẳng hàng (đpcm).

Kurokawa Neko cho mk hỏi tc đoạn chắn là kí gì zậy

Ta có: D; E lần lượt là trung điểm của OA; OB 

=> DE là đường trung bình của tam giác OAB 

=> DE = 1/2 AB 

Chứng minh tương tự: DF = 1/2 AC; EF = 1/2 BC 

=> DE + DF + EF = 1/2 AB + 1/2 AC + 1/2 BC = 1/2 (AB + AC + BC) = 1/2 . 20 = 10 cm

* Xét tứ giác AOBM, ta có:

DA = DB (gt)

DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ BM // AO và BM = AO (1)

* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt)

EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ CN // AO và CN = AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra:BM // CN và BM = CN.

Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//AB và \(DE=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔBAC có

D,F lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>DF là đường trung bình của ΔBAC

=>DF//AC và \(DF=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>EF//BC và \(EF=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔDEF và ΔABC có

\(\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}\left(=\frac12\right)\)

Do đó: ΔDEF~ΔABC

Xét ΔOA'C' có

D,F lần lượt là trung điểm của OA', OC'

=>DF là đường trung bình của ΔOA'C'

=>\(DF=\frac12\cdot A^{\prime}C^{\prime}\)

=>A'C'=AC

Xét ΔOB'A' có

E,D lần lượt là trung điểm của OB',OA'

=>ED là đường trung bình của ΔOB'A'

=>ED=B'A'/2

mà ED=BA/2

nên B'A'=BA

Xét ΔOC'A' có

F,D lần lượt là trung điểm của OC',OA'

=>FD là đường trung bình của ΔOC'A'

=>FD=C'A'/2

=>C'A'=CA

Xét ΔABC và ΔA'B'C' có

\(\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}\left(=1\right)\)

Do đó: ΔABC~ΔA'B'C'

Tứ giác AOBM có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành suy ra :

BM // OA, BM = OA (1)

Chứng minh tương tự ta có :

NC // OA, NC = OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM // NC, BM = NC

Vậy MNCB là hình bình hành

B A C 80 I ? 10 30

Do ΔABC cân tại B => A = C = \(\dfrac{180^o-80^o}{2}=50^o\)

=> góc BAI = 50^o - 10^o = 40^o 

góc BCI = 50^o - 30^o = 20^o

=> \(IBC=\dfrac{1}{3}ABI\Rightarrow IBC=\dfrac{80^o}{3+1}=20^o;ABI=80^o-20^o=60^o\)

\(\Leftrightarrow AIB=180^o-40^o-60^o=80^o\)