Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:

     \(\begin{array}{l}\dfrac{{GA}}{{AM}} = \dfrac{{GB}}{{BN}} = \dfrac{{GC}}{{CP}} = \dfrac{2}{3}\\ \to GA = \dfrac{2}{3}AM;GB = \dfrac{2}{3}BN;GC = \dfrac{2}{3}CP\end{array}\)

Vậy:

     \(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\). 

A b C B M N P G

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Vì là trung tuyến \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BN=\frac{3}{2}BG\\CP=\frac{3}{2}CG\end{cases}}\)

\(\Rightarrow BN+CP=\frac{3}{2}\left(BG+CG\right)\)

Mà theo bđt trong tam giác cho tam giác BGC thì \(BG+GC>BC\)

\(\Rightarrow BN+CP>\frac{3}{2}BC\)

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Xét ΔABC có BN là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BN}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

Xét ΔCAB có CP là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{CP}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\)

\(=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{CP}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|=\left|\overrightarrow{CP}\right|=CP\)

mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{BN}\right|=AM+BN\)

nên CP<=AM+BN(1)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{BN}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{BN}\right|=BN\)

mà \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{AM}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=AM+CP\)

nên BN<=AM+CP(2)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM\)

mà \(\left|\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}\right|\le\left|\overrightarrow{BN}\right|+\left|\overrightarrow{CP}\right|=BN+CP\)

nên AM<=BN+CP(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AM,BN,CP là độ dài ba cạnh của một tam giác

câu 2 : 

a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không

xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)

MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)

AM là cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)

=> AM ⊥ BC

bạn ơi, hình như không có căn cứ để làm thế thì phải