Cho tam giác ABC Cm cotA+cotB+cotC >=\(\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VL
0
ST
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
17 tháng 3 2019
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
trước hết ta tìm cot B và cot C trong tam giác, Việc kẻ đường cao AH cho ta ngay kết quả:
cotB+cotC=BHAH+CHAH=BCAHcotB+cotC=BHAH+CHAH=BCAH
Lại nhận thấy AM 
AH (do t/c đường xiên lớn hơn đg vuông góc).
Hơn nữa dùng giả thiết BM 
CN ta có GM = 1/2BC
Như vậy BC=2GM=2AM3≥2AH3v=>cotB+cotC=BCAH≥23BC=2GM=2AM3≥2AH3v=>cotB+cotC=BCAH≥23
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
21 tháng 6
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
DT
1
N
20 tháng 1 2019
Xét trong 1 tam giác:
\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan\left(A+B\right).\left(1-\tan A.\tan B\right)+\tan C\)
\(=\tan\left(\pi-C\right)\left(1-\tan A.\tan B\right)+\tan C\)
\(=\tan A.\tan B.\tan C\)
☕ Quay lại bài toán, cần chứng minh \(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}\ge\sqrt{3}\)
Theo AM-GM:
\(VT^2\ge3\left(\dfrac{1}{\tan A.\tan B}+\dfrac{1}{\tan B.\tan C}+\dfrac{1}{\tan C.\tan A}\right)\)
\(=\dfrac{3\left(\tan A+\tan B+\tan C\right)}{\tan A.\tan B.\tan C}=3\). Suy ra đpcm