Chứng minh bằng qui nạp

a/ với 2 \(\le n\in Z\). CMR: 2< \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n< 3\)

b/ Với x, y > 0 và n \(\in N\)*. CMR : \(\left(x^2+y^2\right)^n\ge2^nx^ny^n+\left(x^n-y^n\right)^2\)

c/ Cho a+b = 2018. CMR : \(a^n+b^n\ge2.1009^n\). với mọi n\(\in\)N*

Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp qui nạp dãy số:

\(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

Chứng minh bằng qui nạp toán học: 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)² với n\(\ge\)1

Chứng minh các mệnh đề sau theo phương pháp qui nạp dãy số:

\(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

Cho dãy \(\left(u_n\right)\)xác định: \(\hept{\begin{cases}u_1=3\\u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\forall n\ge1\end{cases}}\)

a) Với a=0, bằng quy nạp hãy chứng minh \(0< u_{n+1}< u_n,\forall n\ge1\)

b) Với a=1, bằng quy nạp hãy chứng minh \(1-\frac{2}{n}< u_n,\forall n\ge2\)

Chứng minh bằng quy nạp: với n nguyên dương tùy ý thì: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...........+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)

Chứng minh các mệnh đề sau theo phương pháp qui nạp dãy số:

\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\) \(\forall n\in N\) *

\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

Chứng minh các mệnh đề sau theo phương pháp qui nạp dãy số:

\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\forall n\in N\)*

\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

cho n là số dương CMR:

a) 2+4+6+...+2n=n(n+1)

b) 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=2n(2n^2-1)

chứng minh bằng PP quy nạp