i don't know ......

sorry ......

nha ....

\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

ths

\(a^3-b^3=\left(a-b\right).\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3-b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

a: Ta có: \(\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{BAC}+\hat{CAE}=\hat{BAC}+90^0\)

Do đó: \(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

Xét ΔDAC và ΔBAE có

AD=AB

\(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

AC=AE

DO đó: ΔDAC=ΔBAE

=>DC=BE

b: Gọi O là giao điểm của DC và BE

ΔDAC=ΔBAE

=>\(\hat{ADC}=\hat{ABE}\)

Xét tứ giác ADBO có \(\hat{ADO}=\hat{ABO}\)

nên ADBO là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DOB}=\hat{DAB}=90^0\)

=>DC⊥BE tại O

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si dạng $(x+y)^2\geq 4xy$ và kết hợp với điều kiện $a+b+c=1$ ta có:

\(b+c=(b+c)(a+b+c)^2\geq (b+c).4a(b+c)=4a(b+c)^2\geq 4a.4bc=16abc\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \((a,b,c)=(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{4})\), hoặc $(a,b,c)=(1,0,0)$

dạng này xảy ra tới hai điểm rơi:(

\(a.a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Nếu : \(a+b+c=0\) thì đẳng thức trên đúng .

\(\Rightarrowđpcm\)

\(b.a+b+c+d=0\Rightarrow a+b=-\left(c+d\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(c+d\right)\left(ab-cd\right)\left(đpcm\right)\)