Cho x+y+z=0
CMR x5 + y5 + z5 = \(5 \over 2\) xyz.(x2 + y2 + z2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DP
2
28 tháng 8 2021
x + y + z = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3 x y z ⇒ ( x 3 + y 3 + z 3 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 + x 2 y 2 ( x + y ) + y 2 z 2 ( y + z ) + z 2 x 2 ( z + x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ x 5 + y 5 + z 5 − x y z ( x y + y x + z x ) = 3 x y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ 2 ( x 5 + y 5 + z 5 ) = 5 x y z ( x 2 + y 2 + z 2)
NP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2021
Lời giải:
$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$
Mà:
$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$
Và:
\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)
\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)
\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta có đpcm.
PH
0
NH
0
D
1
26 tháng 11 2017
bn gõ bài trong công thức trực quan ik, khó nhìn lắm, ko làm đc
NN
29 tháng 11 2017
1) \(x^2y^2\left(y-x\right)+y^2z^2\left(z-y\right)-z^2x^2\left(z-x\right)\)
\(=x^2y^3-x^3y^2+y^2z^3-y^3z^2-z^2x^2\left(z-x\right)\)
\(=\left(y^2z^3-x^3y^2\right)-\left(y^3z^2-x^2y^3\right)-z^2x^2\left(z-x\right)\)
\(=y^2\left(z^3-x^3\right)-y^3\left(z^2-x^2\right)-z^2x^2\left(z-x\right)\)
\(=y^2\left(z-x\right)\left(z^2+zx+x^2\right)-y^3\left(z-x\right)\left(z+x\right)-z^2x^2\left(z-x\right)\)
\(=\left(z-x\right)\left[y^2\left(z^2+zx+x^2\right)-y^3\left(z+x\right)-z^2x^2\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left[\left(y^2z^2+xy^2z+x^2y^2\right)-\left(y^3z+xy^3\right)-z^2x^2\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(y^2z^2+xy^2z+x^2y^2-y^3z-xy^3-z^2x^2\right)\)
\(=\left(z-x\right)\left[\left(y^2z^2-y^3z\right)-\left(x^2z^2-x^2y^2\right)+\left(xy^2z-xy^3\right)\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left[y^2z\left(z-y\right)-x^2\left(z^2-y^2\right)+xy^2\left(z-y\right)\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left[y^2z\left(z-y\right)-x^2\left(z-y\right)\left(z+y\right)+xy^2\left(z-y\right)\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left[y^2z-x^2\left(z+y\right)+xy^2\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left(y^2z-x^2z-x^2y+xy^2\right)\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left[\left(y^2z-x^2z\right)-\left(x^2y-xy^2\right)\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left[z\left(y^2-x^2\right)-xy\left(x-y\right)\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left[z\left(y-x\right)\left(y+x\right)+xy\left(y-x\right)\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left(y-x\right)\left[z\left(y+x\right)+xy\right]\)
\(=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left(y-x\right)\left(yz+xz+xy\right)\)
DT
1