Hàm số chẵn

y   =   cos x +   c o t 2   x sin x   l à   h à m   s ố   l ẻ

a.

\(D=R\)

\(f\left(-x\right)=\left|-2x-3\right|+\left|-2x+3\right|=\left|2x+3\right|+\left|2x-3\right|=f\left(x\right)\)

Hàm chẵn

b.

\(D=R\)

\(f\left(-x\right)=\dfrac{\left(-x\right)^3+\left(-x\right)}{\left(-x\right)^4+1}=\dfrac{-x^3-x}{x^4+1}=-\dfrac{x^3+x}{x^4+1}=-f\left(x\right)\)

Hàm lẻ

1: TXĐ là D=R

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=cos\left(-x\right)+\sin^2\left(-x\right)=cosx+\sin^2x=f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số chẵn

2: TXĐ là D=R

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\sin\left(-x\right)+cos\left(-x\right)=-\sin x+cosx\)

=>f(-x)<>f(x) và f(-x)<>-f(x)

=>f(x) không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

3: TXĐ là D=R\\(\left\lbrace\frac{\pi}{2}+k\pi\right\rbrace\)

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\tan\left(-x\right)+2\cdot\sin\left(-x\right)=-\tan x-2\cdot\sin x=-\left(\tan x+2\cdot\sin x\right)=-f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số lẻ

4: ĐKXĐ: \(2x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\)

=>\(x<>\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

=>TXĐ làD=R\{\(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\) }

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\tan\left(-2x\right)-\sin\left(-3x\right)=-\tan2x+\sin3x=-f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số lẻ

5: TXĐ là D=R

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\sin\left(-2x\right)+cos\left(-x\right)=-\sin2x+cosx\)

=>f(-x)<>f(x) và f(-x)<>-f(x)

=>f(x) không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

6: TXĐ là D=R\\(\left\lbrace\frac{\pi}{2}+k\pi\right\rbrace\)

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=cos\left(-x\right)\cdot\sin^2\left(-x\right)-\tan^2\left(-x\right)=cosx\cdot\sin^2x-\tan^2x=f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số chẵn

7:

TXĐ là D=R

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(x\right)=cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=cosx\cdot cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+cosx\cdot cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=2\cdot cosx\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\cdot cosx\)

\(f\left(-x\right)=\sqrt2\cdot cos\left(-x\right)=\sqrt2\cdot cosx\)

=>f(-x)=f(x)

=>f(x) là hàm số chẵn

8:TXĐ là D=R

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\frac{2+cos\left(-x\right)}{1+\sin^2\left(-x\right)}=\frac{2+cosx}{1+\sin^2x}=f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số chẵn

9: TXĐ là D=R

Khi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\left|2+\sin\left(-x\right)\right|+\left|2-\sin\left(-x\right)\right|\)

\(=\left|2-\sin x\right|+\left|2+\sin x\right|=f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số chẵn

Hàm xác định trên R

\(f\left(-x\right)=\dfrac{\left|-x+1\right|-\left|-x-1\right|}{\left|-x+2\right|+\left|-x-2\right|}=\dfrac{\left|x-1\right|-\left|x+1\right|}{\left|x+2\right|+\left|x-2\right|}=-f\left(x\right)\)

Hàm đã cho là hàm lẻ

\(y'=\dfrac{2-\left(-m^2-m\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{m^2+m+2}{\left(x+2\right)^2}\)

Sử dụng công thức: \(\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad-bc}{\left(cx+d\right)^2}\)

\(y=f\left(x\right)=\dfrac{x^3-sinx}{cos2x}\)

\(f\left(-x\right)=\dfrac{-x^3-sin\left(-x\right)}{cos\left(-2x\right)}=-\dfrac{x^3-sinx}{cos2x}=-f\left(x\right)\Rightarrow\) Hàm số lẻ

BÀi 1:

Lấy x1,x2 thuộc (-3;-2) sao cho -3<x1<x2<-2

=>x1+3>0; x2+3>0; x1+2<0; x2+2<0

=>x1+x2+6>0; x1+x2+4<0

-3<x1<-2

=>-3+1<x1+1<-1

=>-2<x1+1<-1(1)

-3<x2<-2

=>-3+1<x2+1<-2+1

=>-2<x2+1<-2(2)

Từ (1),(2) suy ra (x1+1)(x2+1)>0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\)

\(=\left(\frac{-1}{x_1+1}-\frac{-1}{x_2+1}\right):\left(x_1-x_2\right)\)

\(=\frac{-x_2-1+x_1+1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}:\left(x_1-x_2\right)=\frac{1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\) >0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-2)

Lấy x1,x2 sao cho 2<x1<x2<3

2<x1<3

=>2+1<x1+1<3+1

=>3<x1+1<4(3)

2<x2<3

=>2+1<x2+1<3+1

=>3<x2+1<4(4)

Từ (3),(4) suy ra (x1+1)(x2+1)>0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\)

\(=\left(\frac{-1}{x_1+1}-\frac{-1}{x_2+1}\right):\left(x_1-x_2\right)\)

\(=\frac{-x_2-1+x_1+1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}:\left(x_1-x_2\right)=\frac{1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\) >0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3)

Bài 2:

a: TXĐ là D=R\{1;-1}

KHi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^5}{\left|-x\right|^3-1}=\frac{-x^5}{\left|x\right|^3-1}=-f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số lẻ

b: TXĐ là D=R

KHi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\left|-x+2\right|-\left|-x-2\right|\)

=|x-2|-|x+2

=-f(x)

=>f(x) là hàm số lẻ

c: TXĐ là D=[-1;1]

KHi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\sqrt{-x+1}+\sqrt{1-\left(-x\right)}=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số chẵn

d: TXĐ là D=R\{0}

KHi x∈D thì -x∈D

\(f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^4+2\cdot\left(-x\right)^2+1}{-x}=\frac{x^4+2x^2+1}{-x}=-f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số lẻ

ĐKXĐ:

a. \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-3\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\ne3\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow D=[1;+\infty)\backslash\left\{3\right\}\)

b. \(D=R\)

c. \(x+3>0\Rightarrow x>-3\Rightarrow D=\left(-3;+\infty\right)\)

d. \(\left|x-2\right|\ge0\Rightarrow x\in R\Rightarrow D=R\)