ΔAHO vuông tại H

=>\(AH^2+HO^2=AO^2\)

=>\(AH^2=AO^2-OH^2\)

ΔALO vuông tại L

=>\(AL^2+LO^2=AO^2\)

=>\(AL^2=AO^2-OL^2\)

ΔBHO vuông tại H

=>\(BH^2+HO^2=BO^2\)

=>\(BH^2=BO^2-OH^2\)

ΔBKO vuông tại K

=>\(BK^2+KO^2=BO^2\)

=>\(BK^2=BO^2-OK^2\)

ΔCKO vuông tại K

=>\(CK^2+KO^2=CO^2\)

=>\(CK^2=CO^2-OK^2\)

ΔOLC vuông tại L

=>\(LO^2+LC^2=OC^2\)

=>\(CL^2=OC^2-OL^2\)

\(AH^2+BK^2+CL^2\)

\(=OA^2-OH^2+OB^2-OK^2+OC^2-OL^2\)

\(=\left(OA^2-OL^2\right)+\left(OC^2-OK^2\right)+\left(OB^2-OH^2\right)\)

\(=AL^2+CK^2+BH^2\)

a: Xét ΔCFO vuông tại F và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

\(\hat{FCO}=\hat{HCO}\) (CO là phân giác của góc HCF)

Do đó: ΔCFO=ΔCHO

=>CF=CH

=>ΔCFH cân tại C

b: Sửa đề: Chứng minh KA=KI

Qua A, kẻ AE//BC(E∈FK)

Ta có: EA//FC

=>\(\hat{AEH}=\hat{CFH}\) (hai góc so le trong)

và \(\hat{CFH}=\hat{CHF}\) (ΔCFH cân tại C)

và \(\hat{CHF}=\hat{AHE}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AEH}=\hat{AHE}\)

=>AE=AH

mà AH=FI

nên AE=FI

Xét ΔKFI và ΔKEA có

\(\hat{KFI}=\hat{KEA}\) (hai góc so le trong, AE//FI)

FI=EA

\(\hat{FKI}=\hat{EKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKFI=ΔKEA

=>KA=KI

c: IM=IF

=>ΔIMF cân tại I

=>\(\hat{IMF}=\hat{IFM}\)

mà \(\hat{IFM}=\hat{CHF}\) (ΔCHF cân tại C)

nên \(\hat{FMI}=\hat{FHC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MI//HC

=>MI//AC
f: ΔKAE=ΔKIF

=>KA=KI

=>K là trung điểm của AI

=>K nằm trên đường trung trực của AI(2)

Xét ΔOFI vuông tại F và ΔOHA vuông tại H có

OF=OH

FI=AH

Do đó: ΔOFI=ΔOHA

=>OI=OA

=>O nằm trên đường trung trực của AI(1)

Kẻ OD⊥AB tại D

Xét ΔADO vuông tại D và ΔAHO vuông tại H có

AO chung

\(\hat{DAO}=\hat{HAO}\)

Do đó: ΔADO=ΔAHO

=>OD=OH

ΔCFO=ΔCHO

=>OF=OH

mà OD=OH

nên OF=OD=OH

Xét ΔBDO vuông tại D và ΔBFO vuông tại F có

BO chung

OD=OF

Do đó: ΔBDO=ΔBFO

=>BD=BF

ΔADO=ΔAHO

=>AD=AH

mà AH=FI

nên AD=FI

BD+DA=BA

BF+FI=BI

mà DA=FI và BD=BF

nên BA=BI

=>B nằm trên đường trung trực của AI(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,O,K thẳng hàng

a: Xét ΔCFO vuông tại F và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

\(\hat{FCO}=\hat{HCO}\) (CO là phân giác của góc HCF)

Do đó: ΔCFO=ΔCHO

=>CF=CH

=>ΔCFH cân tại C

b: Sửa đề: Chứng minh KA=KI

Qua A, kẻ AE//BC(E∈FK)

Ta có: EA//FC

=>\(\hat{AEH}=\hat{CFH}\) (hai góc so le trong)

và \(\hat{CFH}=\hat{CHF}\) (ΔCFH cân tại C)

và \(\hat{CHF}=\hat{AHE}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AEH}=\hat{AHE}\)

=>AE=AH

mà AH=FI

nên AE=FI

Xét ΔKFI và ΔKEA có

\(\hat{KFI}=\hat{KEA}\) (hai góc so le trong, AE//FI)

FI=EA

\(\hat{FKI}=\hat{EKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKFI=ΔKEA

=>KA=KI

c: IM=IF

=>ΔIMF cân tại I

=>\(\hat{IMF}=\hat{IFM}\)

mà \(\hat{IFM}=\hat{CHF}\) (ΔCHF cân tại C)

nên \(\hat{FMI}=\hat{FHC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MI//HC

=>MI//AC
f: ΔKAE=ΔKIF

=>KA=KI

=>K là trung điểm của AI

=>K nằm trên đường trung trực của AI(2)

Xét ΔOFI vuông tại F và ΔOHA vuông tại H có

OF=OH

FI=AH

Do đó: ΔOFI=ΔOHA

=>OI=OA

=>O nằm trên đường trung trực của AI(1)

Kẻ OD⊥AB tại D

Xét ΔADO vuông tại D và ΔAHO vuông tại H có

AO chung

\(\hat{DAO}=\hat{HAO}\)

Do đó: ΔADO=ΔAHO

=>OD=OH

ΔCFO=ΔCHO

=>OF=OH

mà OD=OH

nên OF=OD=OH

Xét ΔBDO vuông tại D và ΔBFO vuông tại F có

BO chung

OD=OF

Do đó: ΔBDO=ΔBFO

=>BD=BF

ΔADO=ΔAHO

=>AD=AH

mà AH=FI

nên AD=FI

BD+DA=BA

BF+FI=BI

mà DA=FI và BD=BF

nên BA=BI

=>B nằm trên đường trung trực của AI(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,O,K thẳng hàng

a) Xét ΔHAC và ΔABC có:

∠(ACH ) là góc chung

∠(BAC)= ∠(AHC) = 90o

⇒ ΔHAC ∼ ΔABC (g.g)

b) Xét ΔHAD và ΔBAH có:

∠(DAH ) là góc chung

∠(ADH) = ∠(AHB) = 90o

⇒ ΔHAD ∼ ΔBAH (g.g)

c) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông ⇒ ADHE là hình chữ nhật.

⇒ ΔADH= ΔAEH ( c.c.c) ⇒ ∠(DHA)= ∠(DEA)

Mặt khác: ΔHAD ∼ ΔBAH ⇒ ∠(DHA)= ∠(BAH)

∠(DEA)= ∠(BAH)

Xét ΔEAD và ΔBAC có:

∠(DEA)= ∠(BAH)

∠(DAE ) là góc chung

ΔEAD ∼ ΔBAC (g.g)

d) ΔEAD ∼ ΔBAC

ΔABC vuông tại A, theo định lí Pytago:

Theo b, ta có:

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔAHB=ΔAHC

=>góc BAH=góc CAH

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có

AH chung

góc MAH=góc NAH

=>ΔAMH=ΔANH

=>NH=MH

AH^2-AN^2=NH^2

BH^2-BM^2=MH^2

mà NH=MH

nên AH^2-AN^2=BH^2-BM^2

=>AH^2+BM^2=AN^2+BH^2

a:

Sửa đề; Chứng minh ΔOQM đều

Xét tứ giác DEBC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\left(=60^0\right)\)

nên DEBC là hình thang cân

Ta có: OQ//AB

=>\(\hat{OQM}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OQM}=60^0\)

OM//AC
=>\(\hat{OMQ}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OMQ}=60^0\)

Xét ΔOMQ có \(\hat{OQM}=\hat{OMQ}\left(=60^0\right)\)

nên ΔOMQ đều

b: DE//BC

=>\(\hat{ODN}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{ODN}=60^0\)

DO//BC

=>\(\hat{NOD}=\hat{OMQ}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{NOD}=60^0\)

Xét ΔOND có \(\hat{ODN}=\hat{NOD}=60^0\)

nên ΔOND đều

Ta có: DE//BC

=>\(\hat{OEP}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OEP}=60^0\)

OE//QC

=>\(\hat{POE}=\hat{PQC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{POE}=60^0\)

Xét ΔOPE có \(\hat{OEP}=\hat{POE}=60^0\)

nên ΔOPE đều

ΔOQM đều

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của QM

ΔODN đều

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của DN

ΔOPE cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của PE

Xét tứ giác BDOQ có

BD//OQ

BQ//DO

Do đó: BDOQ là hình bình hành

Xét tứ giác CEOM có

CE//OM

CM//OE

Do đó: CEOM là hình bình hành

AH+BI+CK

=AN+NH+BQ+QI+CE+EK

=AN+1/2ND+BQ+1/2QM+CE+1/2EP

=AN+1/2OD+BQ+1/2OQ+CE+1/2OE

=AN+BQ+CE+1/2DE+1/2BD

=AN+BQ+CE+1/2AD+1/2BD

=AN+BQ+CE+1/2AB

=AN+DO+OM+1/2AB

=AN+ND+OQ+1/2AB

=AD+BD+1/2AB

=AB+1/2AB

=1,5AB=1,5a

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H và \(\Delta AHC\) vuông tại H:

\(AB=AC\)  (\(\Delta ABC\) cân tại A).

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A).

\(\Rightarrow\Delta AHB=\) \(\Delta AHC\left(ch-gn\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}.\)

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại M và \(\Delta ANH\) vuông tại N:

\(AHchung.\\ \widehat{MAH}=\widehat{NAH}\left(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\right).\\ \Rightarrow\Delta AMH=\Delta ANH\left(ch-gn\right).\)

Xét \(\Delta AMN:AM=AN\left(\Delta AMH=\Delta ANH\right).\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A.

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}.\)

Mà \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A).

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}.\\ \Rightarrow MN//BC.\)