Bài 1: Tìm các số tự nhiên $a$ và $b$ sao cho $a \cdot b = 105$ và $a < b$

Vì $a, b \in \mathbb{N}$ và $a \cdot b = 105$ nên $a$ và $b$ là các cặp ước của $105$.

Ta tìm tập hợp các ước của 105:

$\text{Ư}(105) = \{1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105\}$

Vì $a \cdot b = 105$ và $a < b$ nên ta có các cặp $(a, b)$ thỏa mãn là:

- $a = 1 \Rightarrow b = 105$

- $a = 3 \Rightarrow b = 35$

- $a = 5 \Rightarrow b = 21$

- $a = 7 \Rightarrow b = 15$

Vậy các cặp số tự nhiên $(a, b)$ cần tìm là: $(1, 105); (3, 35); (5, 21); (7, 15)$.

Bài 2: Chứng tỏ rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 2018 = 2k + 2018 = 2(k + 1009) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 2017 = 2k + 1 + 2017 = 2k + 2018 = 2(k + 1009) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$.

Vậy $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

Bài 5: 

Ta có: \(3n+4⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;8;-6\right\}\)

Khi chia số tự nhiên \(a\) cho \(148\) được số dư \(111\), ta có:

\(a=148k+111\) (với \(k\in\mathbb N\)).

Vì \(148=37\cdot4\) và \(111=37\cdot3\), nên:

\(a=37\cdot4k+37\cdot3\)

\(=37(4k+3)\).

Vậy \(a\) chia hết cho \(37\).

Ta có n² + n = n( n + 1 )

Nếu n chẵn → n ⋮ 2 → [ n( n + 1 )] ⋮ 2

Nếu n lẻ → n + 1 chẵn → ( n + 1 ) ⋮ 2 → [ n( n + 1 )] ⋮ 2

Vậy với mọi số tự nhiên n thì ( n² + n ) ⋮ 2

Chắc chắn sai đề vì n(n+1) luôn là số lẻ làm sao mà chia hết cho 2 được

Ừ nhỉ,quên mất

Xin lỗi nha!

Với mọi n \(\inℕ\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=2k+1\\n=2k\end{cases}}\left(k\inℕ\right)\)

Khi k = 2k + 1

=> (n + 7)(n + 8) = (2k + 1 + 7)(2k + 1 + 8) = (2k + 8)(2k + 9) = 2(k + 4)(k + 9) \(⋮\)2(1)

Khi k = 2k

=> (n + 7)(n + 8) = (2k + 7)(2k + 8) = 2(2k + 7)(k + 4) \(⋮\)2 (2)

Từ (1)(2) => (n + 7)(n + 8) \(⋮\)2\(\forall\)x \(\inℕ\)

Nếu n chẵn thì n+7 lẻ ; n+8 chẵn ; n chẵn nên n(n+7)(n+8) chẵn 

Nếu n lẻ n lẻ ; n +7 chẵn ; n+8 lẻ mà trong phép nhân,ta có lẻ x lẻ x chẵn = chẵn nên n(n+7)(n+8) chẵn

Từ 2 điều trên ta có ĐPCM

n là số lẻ thì số lẻ + số lẻ =số chẵn và nó nhân n sẽ chia hết cho 2

n là số chẵn thì n x mấy vẫn chia hết cho 2

Xét 

-n là số lẻ =>n+3=số chẵn=>nx(n+3) chia hết cho 2

-n chẵn thì nx(n+3)chia hết cho 2

vài cái nhé

Vì n là số tự nhiên

=>n có 2 dạng là 2k và 2k+1

*Xét n=2k=>n.(n+5)=2k.(2k+5) chia hết cho 2

=>n.(n+5) chia hết cho 2

*Xét n=2k+1=>n.(n+5)=(2k+1).(2k+1+5)=(2k+1).(2k+6)=(2k+1).(k+3).2 chia hết cho 2

=>n.(n+5) chia hết cho 2

Vậy mọi số tự nhiên n thì n.(n+5) chia hết cho 2

Gọi 3 stn liên tiếp là: a , a + 1 , a + 2 (a là stn)

Ta có : a + a + 1 + a + 2

= a(1 + 2 )

=a3

Suy ra đpcm

Gọi 3 STN liên tiếp là : a ; a+1 ; a+2 

a có 3 dạng 3k ; 3k +1 l 3k + 2 

Thay vào mà tính