Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
mà OM=OA
nên OC là trung trực của AM
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OD là trung trực của BM
Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
c: Xét tứ giác MEOF có
góc MEO=góc MFO=góc EOF=90 độ
nên MEOF là hình chữ nhật
=>EF=MO=R
a: Xét (O1) có
ΔAPH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAPH vuông tại P
=>HP⊥MA tại P
Xét (O2) có
ΔHQB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHQB vuông tại Q
=>HQ⊥MB tại Q
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
Xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)
nên MPHQ là hình chữ nhật
=>MH=PQ
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao
nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)
Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao
nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)
=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Xét ΔMQP vuông tại M và ΔMAB vuông tại M có
\(\frac{MQ}{MA}=\frac{MP}{MB}\)
Do đó: ΔMQP~ΔMAB
c: MPHQ là hình chữ nhật
=>\(\hat{HPQ}=\hat{HMQ}=\hat{HMB}\)
\(\Delta O_1PH\) cân tại O1
=>\(\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}=\hat{PHA}\)
mà \(\hat{PHA}=\hat{MBA}\) (hai góc đồng vị, PH//MB)
nên \(\hat{O_1PH}=\hat{MBA}\)
MPHQ là hình chữ nhật
=>\(\hat{PQH}=\hat{PMH}=\hat{AMH}\)
\(\Delta O_2QH\) cân tại O2
=>\(\hat{O_2QH}=\hat{O_2HQ}=\hat{QHB}\)
mà \(\hat{QHB}=\hat{MAB}\) (hai góc đồng vị, QH//MA)
nên \(\hat{O_2QH}=\hat{MAB}\)
\(\hat{QPO_1}=\hat{QPH}+\hat{HPO_1}\)
\(=\hat{HMB}+\hat{HBM}=90^0\)
=>QP là tiếp tuyến của (O1)
\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{HQO_2}\)
\(=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)
=>PQ là tiếp tuyến của (O2)
a: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA
Xét (O) có
DB là tiếp tuyến
DM là tiếp tuyến
Do đó: DB=DM
Ta có: MC+MD=DC
nên DC=CA+DB
a: Xét \(\left(O_1\right)\) có
ΔAPH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAPH vuông tại P
=>HP⊥AM tại P
Xét \(\left(O_2\right)\) có
ΔHQB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHQB vuông tại Q
=>HQ⊥MB tại Q
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
=>\(\hat{AMB}=90^0\)
xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)
nên MPHQ là hình chữ nhật
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao
nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)
Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao
nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)
=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có
\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Do đó: ΔMPQ~ΔMBA
c: ΔMPQ~ΔMBA
=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)
\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)
\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)
=>\(PO_1\) ⊥PQ
=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)
\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)
\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)
=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q
=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)
Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) (gt)
=) AC vuông góc OA
=) Góc OAC = 90độ (1)
Lại có: DC là tiếp tuyến của (O) (gt)
=) DC vuông góc OD
=) Góc ODC = 90độ (2)
Từ (1) và (2) =) góc ODC + góc OAC = 180 độ
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
=) Tứ giác OACD nội tiếp
Tự vẽ hình nhé !
Dễ dàng chỉ ra được \(\widehat{COD}=90^o\).
Khi đó \(\Delta COD\) vuông tại \(O\) có \(OM\perp CD\) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có :
\(CM.MD=MO^2=R^2\)
Theo BĐT Cô - si thì : \(CD=CM+MD\ge2.\sqrt{CM.MD}=2\sqrt{R^2}=2R\)
Dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa của cung AB.
Lời giải:
a)
Ta thấy $CA$ và $CM$ đều là tt của $(O)$
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(CA=CM\)
Tương tự với 2 tiếp tuyến $DM, DB$ ta cũng có \(DM=DB\)
Do đó:
\(CA+DB=DM+CM=CD\) (đpcm)
b) Kéo dài $CO$ cắt $By$ tại $K$
Xét tam giác $CAO$ và $KBO$ có:
\(\left\{\begin{matrix} AO=BO=R\\ \widehat{COA}=\widehat{KOB}\\ \widehat{CAO}=\widehat{KBO}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle CAO=\triangle KBO(g.c.g)\)
\(\Rightarrow CA=KB\)
Do đó: \(CA.BD=BK.BD(1)\)
Mặt khác: Theo phần a, ta cm được: \(CD=AC+BD\)
Mà $AC+BD=KB+BD=DK$ nên $CD=DK$
Do đó tam giác $DCK$ cân tại $D$
Suy ra đường trung tuyến $DO$ (\(OC=OD\) suy ra từ 2 tam giác bằng nhau ở trên) đồng thời là đường cao $DO$
\(\Rightarrow DO\perp OK\)
Tam giác vuông $DOK$ có đường cao $OB$ ứng với cạnh huyền nên theo kết quả của hệ thức lượng thì: \(DB.BK=OB^2=R^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AC.BD=R^2\)
Ta có đpcm.
Hình vẽ: