b vuông góc với c và c vuông góc với d 

nên b song song với d (1)

mà a vuông góc với b (2)

từ 1;2 suy ra a vuông góc với d

THAM KHẢO:

Vì AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P) nên AB trùng AC

 A, B, C thẳng hàng.

Tham khảo:

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A và B

Ta có A thuộc a mà a nằm trong mp(P) suy ra A cũng nằm trong mp(P)

B thuộc b mà b nằm trong mp(P) suy ra B cũng nằm trong mp(P)

Suy ra đường thẳng AB cũng nằm trong mp(P) tức c cũng nằm trong mp(P).

a: CE//AF

=>\(\hat{BCE}=\hat{CFA}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{ACE}=\hat{CAF}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{BCE}=\hat{ACE}\) (CE là phân giác của góc ACB)

nên \(\hat{CFA}=\hat{CAF}\)

b: Xét ΔDAB có \(\hat{BDC}\) là góc ngoài tại đỉnh D

nên \(\hat{BDC}=\hat{DBA}+\hat{DAB}=60^0+\frac12\cdot\hat{ABC}\)

Xét ΔAEC có \(\hat{AEC}+\hat{EAC}+\hat{ECA}=180^0\)

=>\(\hat{AEC}+60^0+\frac12\cdot\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{AEC}=120^0-\frac12\cdot\hat{ACB}=120^0-\frac12\left(180^0-\hat{ABC}-\hat{BAC}\right)\)

\(=120^0-\frac12\left(180^0-60^0-\hat{ABC}\right)=120^0-\frac12\left(120^0-\hat{ABC}\right)=\frac12\cdot\hat{ABC}+60^0\)

=>\(\hat{BDC}=\hat{AEC}\)

a: EC//AF
=>\(\hat{CAF}=\hat{ACE}\) (hai góc so le trong) và \(\hat{ECB}=\hat{CFA}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ACE}=\hat{ECB}\)

nên \(\hat{CAF}=\hat{CFA}\)

b:Xét ΔADB có \(\hat{BDC}\) là góc ngoài tại đỉnh D

nên \(\hat{BDC}=\hat{DBA}+\hat{DAB}=\frac12\cdot\hat{ABC}+60^0\) (1)

Xét ΔAEC có \(\hat{AEC}+\hat{EAC}+\hat{ACE}=180^0\)

=>\(\hat{AEC}=180^0-\hat{EAC}-\hat{ACE}=180^0-60^0-\frac12\cdot\hat{ACB}\)

\(=120^0-\frac12\cdot\hat{ACB}=120^0-\frac12\left(180^0-\hat{ABC}-\hat{BAC}\right)\)

\(=120^0-\frac12\left(180^0-60^0-\hat{ABC}\right)=\frac12\cdot\hat{ABC}+60^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BDC}=\hat{AEC}\)

Lời giải:

Có 44 số a,b,c,da,b,c,d và 33 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 33 là 0,1,20,1,2

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [43]+1=2[43]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 44 là a,ba,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,da,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,da,b,c,d có số dư khi chia cho 44 lần lượt là 0,1,2,30,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Cho 4 số nguyên phân biệt a,b,c,d. Chứng minh rằng : (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12

 Giải

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,