Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1

a)

• Gọi AH,AM lần lượt là đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC
• Ta có: \(AH\le AM\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{AM}\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{3GM}\)( do G là trọng tâm tam giác ABC)\(\left(1\right)\)
• Xét tam giác BGC vuông tại G có BM là trung tuyến( do M là trung điểm BC)\(\Rightarrow2GM=BC\left(2\right)\)
• \(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{HC}{AH}=\frac{BC}{AH}\left(3\right)\)
• Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)

Bài 2: 

Gọi tam giác cần có trong đề là ΔABC vuông tại A có \(\widehat{B}=\alpha\)

Ta có: \(\tan^2B+1=\left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2+1=\dfrac{AC^2+AB^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}\)

\(\Leftrightarrow\tan^2B+1=1:\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{1}{\cos^2B}\)(đpcm)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(cotB=\dfrac{BA}{AC};cotC=\dfrac{AC}{AB}\)

\(cotB+cotC=\dfrac{BA}{AC}+\dfrac{AC}{AB}\)

\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB\cdot AC}=\dfrac{BC^2}{AB\cdot AC}\)

\(=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot BC=\dfrac{BC}{AH}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)

\(\frac{a}{\sin A}=2R\)

=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)

=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)

XétΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến

nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Gọi G là giao điểm của BM và CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)

=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)

ΔGBC vuông tại G

=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)

=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)

=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)

=>\(5a^2=b^2+c^2\)

cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)

cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)

=>cot A=2(cot B+cot C)

Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G

Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)

Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)

Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC

\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)

Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)

 \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)

3b)

Ta có tg BNK vuông tại K ->BN>BK

Ta có IK=MN(tính chất đoạn chắn)

Ta có : BC+MN=BK+KC+MN=BK+BI+IK=2BK

Vì BK<BN->2BK<2BN->BN>BK/2->BN>BC+MN/2

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)

\(\frac{a}{\sin A}=2R\)

=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)

=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)

XétΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến

nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Gọi G là giao điểm của BM và CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)

=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)

ΔGBC vuông tại G

=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)

=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)

=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)

=>\(5a^2=b^2+c^2\)

cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)

cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)

=>cot A=2(cot B+cot C)