Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có :

\(\left(1.x+1.y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2.8=16\)

=> \(x+y\le4\)

Dấu " =" xảy ra khi \(x=y=2\).

Đề thi vào 10 KHTN năm kia

Muốn làm rút gọn từ phải sang trái. 

Giả sử : \(y=ax\) 

Thay vào giả thiết : \(\frac{ax}{x+ax}+\frac{2\left(ax\right)^2}{x^2+\left(ax\right)^2}+\frac{4\left(ax\right)^4}{x^4+\left(ax\right)^4}+\frac{8\left(ax\right)^8}{x^8-\left(ax\right)^8}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x.a}{x.\left(a+1\right)}+\frac{x^2.2a^2}{x^2\left(1+a^2\right)}+\frac{x^4.4a^4}{x^4\left(1+a^4\right)}+\frac{x^8.8a^8}{x^8\left(1-a^8\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{2a^2}{a^2+1}+\frac{4a^4}{a^4+1}+\frac{8a^8}{1-a^8}=4\)

Tới đây bạn giải ra , tìm a rồi thay vào y = ax  là ra :)

\(\frac{x}{1998}=\frac{y}{1999}=\frac{z}{2000}=t=\frac{x-z}{1998-2000}=\frac{x-y}{1998-1999}=\frac{y-z}{1999-2000}.\)

Hay: \(\frac{x-z}{-2}=\frac{x-y}{-1}=\frac{y-z}{-1}\Rightarrow x-z=2\left(x-y\right)=2\left(y-z\right)\)(1)

a) \(\left(x-z\right)^3=\left(x-z\right)^2\left(x-z\right)=\left(2\left(x-y\right)\right)^2\left(2\left(y-z\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-z\right)^3=8\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)\)ĐPCM a)

b) Từ (1) => x + z = 2y 

Để \(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\Rightarrow\frac{x+y}{\frac{1}{2}}=\frac{y+z}{\frac{1}{5}}=\frac{z+x}{\frac{1}{3}}\)

Từ \(\Rightarrow\frac{x+y}{\frac{1}{2}}=\frac{y+z}{\frac{1}{5}}=\frac{x+y+y+z}{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}=\frac{4y}{\frac{7}{10}}=\frac{2y}{\frac{1}{3}}\)

=>y=0 =>x=0 => z=0 Suy ra hệ thức: x-y/4=y-z/5 luôn đúng. ĐPCM

Bạn đinh thùy linh trả lời rõ ràng hơn được ko 

Chắc là x + y = 2.

Ta có \(x^4-x^2-2x+2=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2-2\right)=\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\ge0\).

Do đó \(x^4\ge x^2+2x-2\). Tương tự \(y^4\ge y^2+2y-2\).

Cộng vế với vế của 2 bđt trên ta có đpcm.

bạn giải kĩ ra hơn được không

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = /x+1/ + /x-2017/ với x là số nguyên

Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hai-so-xy-thoa-man-x-y-cmr-x2-y2-le-x4-y4.628714996213

\(\)Ta có: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

=>\(y + z = 4 - x - \sqrt{xyz}\)

Ta có: \((4-y)(4-z)=16-4(y+z)+yz\)

=>\((4-y)(4-z) = 16 - 4(4 - x - \sqrt{xyz}) + yz\)

\(= 16 - 16 + 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

\(= 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

=>\(x(4-y)(4-z) = x(4x + 4\sqrt{xyz} + yz)\)

\(=4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz=\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2\)

=>\(\sqrt{x(4-y)(4-z)} = \sqrt{(2x + \sqrt{xyz})^2} = 2x + \sqrt{xyz}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\sqrt{y(4-z)(4-x)}=2y+\sqrt{xyz};\sqrt{z(4-x)(4-y)}=2z+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}\)

\(=(2x+\sqrt{xyz})+(2y+\sqrt{xyz})+(2z+\sqrt{xyz})-\sqrt{xyz}\)

\(=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}\)

\(=2(x+y+z+\sqrt{xyz})=2\cdot4=8\) (ĐPCM)