Ta có: \(\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(-\left|y+1\right|\le0\forall y\)

mà \(\left(x+y-1\right)^2=-\left|y+1\right|\)

nên x+y-1=0 và y+1=0

=>y=-1 và x=-y+1=-(-1)+1=2

\(M=x^{2021}+y^{2021}+2021\)

\(=2^{2021}+\left(-1\right)^{2021}+2021=2^{2021}+2020\)

Thử nhé

Vì P là bất đẳng thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)

Thay vo P ta duoc \(P=4.\sqrt{2021}\)

----------------------------------------------------------

\(P=\sum\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}{z}\)

Cauchy-Schwarz:

\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge z+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow P\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\ge\sum\dfrac{xz+yz+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{z}=\sum x+y+\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\sum x+y+\dfrac{2xy}{z}\)

\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\)

Cauchy-Schwarz: \(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{zx}{y}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y}.\dfrac{xy}{z}}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(x+y+z\right)=4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2021}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)

Áp dụng bđt cosi cho 2 số không âm ta có:

`x+4>=4sqrtx`

`y+1>=2sqrty`

`=>(x+4)(y+1)>=8sqrt{xy}`

Mà đề bài cho `(x+4)(y+1)=8sqrt(xy)`

Dấu "=" xảy ra khi `x=4,y=1`

`=>T=4+1^2021=4+1=5`

Đề sai. Nếu $x,y$ đều âm thì điều kiện $xy> 2020x+2020y$ được thỏa mãn nhưng hiển nhiên $x+y$ không thể lớn hơn $(\sqrt{2020}+\sqrt{2021})^2$

nếu x,y dương

 thì sao Akai Haruma ?

xét x=y,x>y và x<y chú ý tới điều kiện x,y thuộc -1;1 nữa 

bài 1 ta có 

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\)  ( BDT Bunhia )

do đó

\(a+b=ab.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\)

vậy ta có đpcm.

bài 2.

ta có \(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le2\)( BDT Bunhia )

\(VP=y^2+2.\sqrt{2019}y+2021=\left(y+\sqrt{2019}\right)^2+2\ge2\)

suy ra PT có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x-3=5-x\\y+\sqrt{2019}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-\sqrt{2019}\end{cases}}}\)

\(x=\sqrt[3]{9+4\sqrt5}+\sqrt[3]{9-4\sqrt5}\)

=>\(x^3=9+4\sqrt5+9-4\sqrt5+3\cdot\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt5\right)\left(9-4\sqrt5\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{9+4\sqrt5}+\sqrt[3]{9-4\sqrt5}\right)\)

=>\(x^3=18+3x\)

=>\(x^3-3x=18\)

\(y=\sqrt[3]{3-2\sqrt2}+\sqrt[3]{3+2\sqrt2}\)

=>\(y^3=3-2\sqrt2+3+2\sqrt2+3\cdot\sqrt[3]{\left(3-2\sqrt2\right)\left(3+2\sqrt2\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{3+2\sqrt2}+\sqrt[3]{3-2\sqrt2}\right)\)

=>\(y^3=6+3y\)

=>\(y^3-3y=6\)

\(P=x^3+y^3-3\left(x+y\right)+2021\)

\(=\left(x^3-3x\right)+\left(y^3-3y\right)+2021\)

=18+6+2021

=2045

a)

Ta có: $2x^2+2y^2=5xy \Leftrightarrow 2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5$

Đặt $t=\frac{x}{y}$, ta có $2t+\frac{1}{t}=5 \Rightarrow 2t^2-5t+1=0$

Giải phương trình trên ta được $t_1=\frac{1}{2}$ và $t_2=1$. Vì $0<x<y$ nên $t>0$, do đó $t=\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$.

Từ đó suy ra $x=\frac{y}{2}$ và thay vào biểu thức $E$ ta được:

$E=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{\frac{y^2}{4}+y^2}{\frac{y^2}{4}-y^2}=-\frac{5}{3}$

Vậy kết quả là $E=-\frac{5}{3}$.