Cho (O; R) đường kính AB , gọi I là trung điểm của AO. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Vẽ tiếp tuyến tại C và D của (O), chúng cắt nhau tại M.
1/Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi , suy ra M, A, B thẳng hàng
2/Tính chu vi và diện tích tam giác MCD theo R
3/Chứng minh : MC2 = MA . MB
4/Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BI)
1: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của CD
Xét tứ giác ACOD có
I là trung điểm chung của AO và CD
=>ACOD là hình bình hành
Hình bình hành ACOD có OC=OD
nên ACOD là hình thoi
=>AC=AD=OC=OD
Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MC=MD và MO là phân giác của góc CMD; OM là phân giác của góc COD
MC=MD
=>M nằm trên đường trung trực của CD(1)
ACOD là hình thoi
=>AO là đường trung trực của CD
=>AB là đường trung trực của CD(2)
Từ (1),(2) suy ra M,A,B thẳng hàng
2: Xét ΔCOA có OC=OA=AC
nên ΔOCA đều
=>\(\hat{AOC}=60^0\)
ΔMCO vuông tại C
=>\(\hat{CMO}+\hat{COM}=90^0\)
=>\(\hat{CMO}=90^0-60^0=30^0\)
MO là phân giác của góc CMD
=>\(\hat{CMD}=2\cdot\hat{CMO}=2\cdot30^0=60^0\)
ΔOCM vuông tại C có tan COM=\(\frac{CM}{CO}\)
=>\(CM=CO\cdot\tan COM=R\sqrt3\)
Xét ΔMCD có MC=MD và \(\hat{CMD}=60^0\)
nên ΔMCD đều
=>MC=MD=CD=R\(\sqrt3\)
Chu vi tam giác MCD là:
MC+MD+CD
\(=R\sqrt3+R\sqrt3+R\sqrt3=3R\sqrt3\)
ΔMCD đều
=>\(S_{MCD}=MC^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\left(R\sqrt3\right)^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3\cdot R^2}{4}\)
3: Xét (O) có
\(\hat{MCA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CM và dây cung CA
\(\hat{CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA
Do đó: \(\hat{MCA}=\hat{CBA}\)
Xét ΔMCA và ΔMBC có
\(\hat{MCA}=\hat{MBC}\)
góc CMA chung
Do đó: ΔMCA~ΔMBC
=>\(\frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}\)
=>\(MC^2=MA\cdot MB\)