1.

Ta có: $(x-1)^2=3$.

Vì $3$ không phải là số chính phương nên phương trình:

$(x-1)^2=3$ không có nghiệm nguyên.

Do đó không tồn tại số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

Vậy số cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn là 0

2.

Ta có: $\dfrac{x}{4}=\dfrac{197}{x}+2$

Nhân cả hai vế với $4x$:

$x^2=788+8x$

$\Rightarrow x^2-8x-788=0$

Ta có: $\Delta = (-8)^2-4\cdot1\cdot(-788)$$=64+3152$$=3216$$=\;16\cdot201$

Không phải số chính phương.

Vì vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Suy ra không có số nguyên dương $x$ thỏa mãn đề bài.

Vậy số các số nguyên dương $x$ thỏa mãn là: $\boxed{0}$.

| x.( x^2 - 3 ) | = x <=> x.( x^2 - 3 ) = x hoặc = - x

TH1 : x.( x^2 - 1 ) = x <=> x^2 - 3 = 1 => x^2 = 2^2 => x = 2 ( thỏa mãn đề bài )

TH2 : x.( x^2 - 1 ) = - x <=> x^2 - 3 = - 1 => x^2 = 2 ( ko thỏa mãn đề bài )

Vậy x = 2

từ x=6y và |x|-|y|=60 => |x|=72 ; |y|=12

x²=(|x|)²=72²=5184;y²=(|y|)²=12²=144

x=6y => xy=6y² =>xy=6.144=864

=> x²+y²+xy=5184+864+144=6192

vậy...

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\cdot\left(x-3\right)=x\\x\cdot\left(x-3\right)=-x\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=\frac{x}{x}\\x-3=-\frac{x}{x}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=1\\x-3=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1+3\\x=-1+3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=2\end{cases}}\)

Vậy x=2 hoặc x=4