\(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)

\(a^3+b^3=a^3+\left(1-a\right)^3=3a^2-3a+1=3\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(a+b=1\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

Lại có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(=a^2-ab+b^2=\left(a+b\right)^2-3ab\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{2}\)

\(VT-VP=\frac{4\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a-b\right)^2+\left(2a^2+2b^2+a+b-2\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Có b=1-a. Thay vào được

\(a^3+\left(1-a\right)^3=a^3+1-3a+3a^2-a^3=3a^2-3a+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai

là c\(^4\) ạ

Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).

Khi đó ta cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)

\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)

\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)

Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)

\(\Rightarrow ax\ge1\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a^2b}+\frac{2}{2+b^2c}+\frac{2}{2+c^2a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le3\)

\(\frac{a^2b}{2+a^2b}\le\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}}{3}=\frac{a\sqrt[3]{ab^2}}{3}\)

Tương tự thì ta cần chứng minh \(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^2}\le6\)

Oke phần còn lại dành cho bạn ;D

Khúc cuối nhầm kìa bác Coolkid

\(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^3}\le3\)