bn vô câu hỏi tương tự có hết nhé

\(P=\dfrac{4a^2}{4b+2c}+\dfrac{4b^2}{4a+2c}+\dfrac{c^2}{4a+4b}\ge\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{8a+8b+4c}\)

\(=\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{4\left(2a+2b+c\right)}=\dfrac{1}{4}\left(2a+2b+c\right)\)

b) \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

= \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

=\(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> \(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)(đpcm)

Dấu >= hay <= vậy bạn? Bạn xem lại đề.

Bài 1: 

a) Áp dụng bđt Cô - si:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{b}\)

Tương tự với 2 phân thức còn lại của vế trái rồi cộng lại, ta có:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

=> đpcm

Bài dù a + b + c = 2021 hay 1 số bất kì thì bđt luôn \(\ge\dfrac{3}{2}\). Bạn có thể tham khảo bđt Nesbitt

Bài 2:

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{2021-\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{2021-\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{2021-\left(a+b\right)}{a+b}\)

\(=2021\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)-3\)

Áp dụng BĐT Svacxo, ta có

\(P\) ≥ \(\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

Dấu"=" ⇔ ...

Đề cần bổ sung \(a,b>0\) nhé

\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+6ab+7b^2\right)}{4b^2\left(a+b\right)^2\left(a+2b\right)}\ge0\) *luôn đúng*

\("="\Leftrightarrow a=b\)