Lời giải:

Kẻ đường cao $AE$ và $BF$ của hình thang. Ký hiệu \(DE=a, EF=b, FC=c\)

Có \(\widehat{EAB}=180^0-\widehat{AEF}=180^0-90^0=90^0\). Như vậy tứ giác $ABFE$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AB=EF=b\)

\(\Rightarrow AB+CD=2b+a+c=15\)

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:

\(AE^2+EC^2=AC^2\Leftrightarrow AE^2+(b+c)^2=144(1)\)

\(BF^2+DF^2=BD^2\Leftrightarrow BF^2+(a+b)^2=81(2)\)

Lấy \((1)-(2)\Rightarrow (b+c-a-b)(a+2b+c)=63\) (do \(AE=BF\) )

\(\Leftrightarrow (c-a).15=63\Rightarrow c-a=4,2\)

\(\Rightarrow 15=a+2b+c=a+2b+a+4,2\)

\(\Rightarrow b+a=5,4\)

Thay vào (2) suy ra: \(BF^2=\frac{1296}{25}\Rightarrow BF=7,2\)

\(S_{ABCD}=\frac{(AB+CD).BF}{2}=\frac{15.7,2}{2}=54\)

Qua A kẻ AE//BD (E Î DC)

Þ AE = BD = 12cm, DE = AB = 5cm

Þ DAEC vuông tại A (định lý Pytago đảo)

⇒ A H = A E . A C E C = 12.16 20 = 9 , 6 c m  

Þ S_ABCD = 96cm²

kẻ 1 đường thẳng // với 1 đường chéo rồi chứng mình tam giác vuông

Thầy Vũ Tiền Châu , thầy giải thích rõ tí đc k ạ ? E vẽ thử mà nghĩ hoài k ra 

a: Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\hat{OA}B=\hat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

\(\hat{AOB}=\hat{COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{5}{10}=\frac12\)

=>OC=2OA; OD=2OB

OC+OA=AC

=>2OA+OA=12
=>3OA=12

=>OA=4(cm)

=>OC=4*2=8(cm)

ΔOCD vuông tại O

=>\(OC^2+OD^2=CD^2\)

=>\(OD^2=10^2-8^2=100-64=36=6^2\)

=>OD=6(cm)

=>OB=1/2OD=3(cm)

BD=OB+OD=6+3=9(cm)

b: Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot9\cdot12=6\cdot9=54\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: Chiều cao là:

\(2\cdot54:\left(5+10\right)=\frac{108}{15}=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

                           s= 15 x ( 3 + 14 ) : 2 = 127,5

                            s= 8 x ( 3 + 14 ) : 2 = 68