a, ĐKXĐ : \(D=R\)

BPT \(\Leftrightarrow x^2+5x+4< 5\sqrt{x^2+5x+4+24}\)

Đặt \(x^2+5x+4=a\left(a\ge-\dfrac{9}{4}\right)\)

BPTTT : \(5\sqrt{a+24}>a\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a+24\ge0\\a< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\25\left(a+24\right)>a^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\\left\{{}\begin{matrix}a^2-25a-600< 0\\a\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\0\le a< 40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-24\le a< 40\)

- Thay lại a vào ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+5x-36< 0\\x^2+5x+28\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-9< x< 4\)

Vậy ....

b, ĐKXĐ : \(x>0\)

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)< x+\dfrac{1}{4x}+1\)

- Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2=x+\dfrac{1}{4x}+1\)

BPTTT : \(2a\le a^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le0\\a\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge4\)

- Thay a vào lại BPT ta được : \(x+\dfrac{1}{4x}-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-12x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x=(0;\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}]\cup[\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2};+\infty)\)

Vậy ...

Ta có: \(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2} + \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) + 2 > 0\) (1)

ĐKXĐ: \(\begin{cases}1-x^2>0\\ x<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2<1\\ x<>0\end{cases}\)

=>-1<x<1 và x<>0

Đặt \(y=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(y^2 = \left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)^2 + 2 + \left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \dfrac{1-x^2}{x^2} + 2 + \dfrac{x^2}{1-x^2}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)+2+\dfrac{x^2}{1-x^2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{1-x^2}+1\)

=>\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2} = y^2 - 1\)

Thay vào BPT ban đầu, ta được: \((y^2 - 1) + \dfrac{5}{2}y + 2 > 0\)

=>\(y^2+\dfrac{5}{2}y+1>0\iff2y^2+5y+2>0\)

=>(2y+1)(y+2)>0

=>y>-1/2 hoặc y<-2

TH1: 0<x<1

Theo AM-GM, ta được: \(y \ge 2 \cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}} = 2\)

Nếu y>-1/2 thì vì y>=2>-1/2

nên (1) luôn đúng

Nếu y<-2 thì vì y>=2>-2

nên (1) vô nghiệm

TH2: -1<x<0

=>\(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}<0;\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}<0\)

Đặt \(t=-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)

=>\(y=-t-\dfrac{1}{t}=-\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\le-2\)

Nếu y>-1/2 thì vì y<=-2<-1/2

nên (1) luôn sai

=>(1) vô nghiệm

Nếu y<-2 thì vì y<=-2<-2

nên mọi giá trị của x sẽ thỏa mãn y, trừ giá trị thỏa mãn y=-2

Đặt y=-2

=>\(t+\dfrac{1}{t}=2\iff t=1\)

=>\(-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}=1\)

\(\iff\sqrt{1-x^2}=-x\)

=>\(1-x^2=x^2\)

=>\(2x^2=1\)

=>\(x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Do đó: x∈\(\left(-1;\frac{-1}{\sqrt2}\right)\) \(\cup\) \(\left(-\frac{1}{\sqrt2};0\right)\)

Vậy: \(S = \left(-1, -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \cup (0, 1)\)

a: ĐKXĐ: x>=-9/2 và x<>0

\(3 - \sqrt{9 + 2x} = \frac{9 - (9 + 2x)}{3 + \sqrt{9 + 2x}} = \frac{-2x}{3 + \sqrt{9 + 2x}}\)

=>\((3 - \sqrt{9 + 2x})^2 = \frac{4x^2}{(3 + \sqrt{9 + 2x})^2}\)

\(\frac{2x^2}{(3 - \sqrt{9 + 2x})^2} < x + 21\)

=>\(\frac{2x^2 \cdot (3 + \sqrt{9 + 2x})^2}{4x^2} < x + 21\)

=>\(\frac{(3 + \sqrt{9 + 2x})^2}{2} < x + 21\)

=>\((3 + \sqrt{9 + 2x})^2 < 2x + 42\)

=>\(9 + 6\sqrt{9 + 2x} + (9 + 2x) < 2x + 42\)

=>\(18 + 2x + 6\sqrt{9 + 2x} < 2x + 42\)

=>\(6\sqrt{9 + 2x} < 24\)

=>\(\sqrt{2x+9}<4\)

=>2x+9<16

=>2x<7

=>x<7/2

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: -9/2<=x<7/2 và x<>0

\(Xét-mẫu-của-biểu-thức:\left(đk:x\ge1\right).ta-có:x-\sqrt{2\left(x^2+5\right)}=\frac{-\left(x^2+10\right)}{x+\sqrt{2\left(x^2+5\right)}}< 0\\ .\)Vậy nó luôn <0 với đk x>=1
\(Xét-tử:đặt-nó-bằng-A=\left(x-2\right)^2-\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\left(2x-1\right)=2\sqrt{x-1}\left(2x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+4\right)\\ =\sqrt{x-1}\left(2\left(2x-1\right)-\sqrt{x-1\left(x+4\right)}\right)\ge0.\\ \)\(=>\left(2\left(2x-1\right)-\sqrt{\left(x-1\right)}\left(x+4\right)\right)\ge0< =>\frac{\left(5-x\right)\left(x-2\right)^2}{2\left(2x-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+4\right)}\ge0< =>x\le5\) Vậy . \(1\le x\le5\)
 

Thank you ^^^

Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}5-x\ge0\\x-10>0\\\left(x-4\right)\left(x+5\right)\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le5\\x>10\\x\ne4\\x\ne-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x\in\varnothing\).
Vậy BPT vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)=x\)

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-x-1-x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=x\)

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)-\dfrac{x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=x\)

\(x=0\) la nghiem cua pt

\(x\ne0\Rightarrow pt:\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=1\)

\(u=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\Rightarrow pt:u-\dfrac{1}{u}=1\)

\(\Leftrightarrow u^2-u-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\u=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow2+2\sqrt{1-x^2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)

\(\Leftrightarrow1-x^2=\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}}\left(tm\right)\)

Nghiệm còn lại tự xét nhé :v

P/s: Ý tưởng thuộc về Ck iu  , em tag anh rồi nhé ck :v

_{Ơ mà này, dạo này chả thấy anh Lâm onl nhờ bà nhỉ? Bà biết ảnh bay đâu r ko? Muốn hỏi bài mà mãi chả thấy hiện hồn :v} 

xài nhầm nick thông cảm :v