Lời giải:

Ta có: \(n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)

CM \(n^5-n\vdots 3\)

Ta thấy \(n,n+1,n-1\) là ba số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $3$

\(\Rightarrow n(n-1)(n+1)\vdots 3\Leftrightarrow n^5-n\vdots 3(1)\)

CM \(n^5-n\vdots 5\)

+) \(n\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n-1\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 2\pmod 5\Rightarrow n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 3\pmod 5\Rightarrow n^2\equiv 9\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n+1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n^5-n=n(n+1)(n-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Do đó, \(n^5-n\vdots 5(2)\)

CM \(n^5-n\vdots 16\)

Vì $n$ lẻ nên đặt \(n=4k+1;4k+3\) Khi đó:\(\left[{}\begin{matrix}n^2=16k^2+1+8k\\n^2=16k^2+9+24k\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(n^2\equiv 1\pmod 8\)

\(\Rightarrow n^2-1\vdots 8\)

Mà $n$ lẻ nên $n^2+1\vdots 2$

Do đó \(n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 16(3)\)

Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow n^5-n\vdots (16.3.5=240)\) (đpcm)

a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

vì n chẵn nên đặt n=2k

\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16

\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)

đặt n=2k

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)

mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16

Ta có: n5−n=n(n4−1)=n(n−1)(n+1)(n2+1)

CM n5−n⋮3

Ta thấy n,n+1,n−1 là ba số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại một số chia hết cho 3

⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇔n5−n⋮3(1)

CM n5−n⋮5

+) n≡0(mod5)⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡1(mod5)⇒n−1≡0(mod5)⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡2(mod5)⇒n2≡4(mod5)⇒n2+1≡0(mod5)

⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡3(mod5)⇒n2≡9(mod5)⇒n2+1≡0(mod5)

⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡4(mod5)⇒n+1≡0(mod5)

⇒n5−n=n(n+1)(n−1)(n2+1)⋮5

Do đó, n5−n⋮5(2)

CM n5−n⋮16

Vì n lẻ nên đặt n=4k+1;4k+3 Khi đó:[n2=16k2+1+8kn2=16k2+9+24k⇒ n2≡1(mod8)

⇒n2−1⋮8

Mà n lẻ nên n2+1⋮2

Do đó n5−n=n(n2−1)(n2+1)⋮16(3)

Từ (1),(2),(3)⇒n5−n⋮(16.3.5=240) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

=>21 chia hết 49 h minh nhé

n³ + ( n + 1 )³ + ( n + 2 )³

= ( 3n + 1 + 2 )³

= ( 3n + 3 )³

= 27n + 9

= 36n chia hết cho 9

Vậy n³ + ( n + 1 )³ + ( n + 2 )³

n^3+(n+1)^3+(n+2)^3

=(n+n+1+n+2)^3

=(3n+3)^3

=27n+9 

Ma 36 chia het cho 9

=>dpcm

TK ử đây :  https://hoc247.net/hoi-dap/toan-8/chung-minh-n-5-n-chia-het-cho-30-faq417269.html