a: Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho MA=MD

=>M là trung điểm của AD

Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>AB=DC

Xét ΔACD có CA+CD>AD
=>CA+AB>2AM

=>\(AM<\frac{AB+AC}{2}\) (3)

b: Trên tia đối của tia NB, lấy F sao cho NB=NF

=>N là trung điểm của BF

=>BF=2BN

Xét ΔNAF và ΔNCB có

NA=NC

\(\hat{ANF}=\hat{BNC}\) (hai góc đối đỉnh)

NF=NB

Do đó: ΔNAF=ΔNCB

=>AF=CB

Xét ΔABF có AB+AF>BF

=>\(BF

=>\(2BN

=>\(BN<\frac{BA+BC}{2}\) (2)

Trên tia đối của tia EC, lấy H sao cho EH=EC

=>E là trung điểm của HC

Xét ΔEAH và ΔEBC có

EA=EB

\(\hat{AEH}=\hat{BEC}\) (hai góc đối đỉnh)

EH=EC

Do đó: ΔEAH=ΔEBC

=>AH=BC

Xét ΔAHC có AH+AC>HC

=>BC+AC>2CE

=>\(CE<\frac{CA+CB}{2}\) (1)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(AM+BN+CE<\frac{AB+AC+BA+BC+CA+CB}{2}=AB+AC+BC\)

Xét tam giác AEM có:

\(AM< AE+EM\)

\(AM< \frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC\)

\(AM< \frac{1}{2}\left(AB+AC\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(CE< \frac{1}{2}\left(AC+BC\right)\)

\(BN< \frac{1}{2}\left(AB+BC\right)\)

\(\Rightarrow AM+BN+CE< AB+AC+BC\left(đpcm\right)\)

P/s xong rồi nhé mình làm hơi tắt mong bạn thông cảm :)

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=625-400=225\)

\(\Rightarrow AC=15\left(cm\right)\)

\(AM^2=\dfrac{2.\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{4}\) (Độ dài trung tuyến trong tam giác)

\(\Rightarrow AM^2=\dfrac{2.\left(400+225\right)-625}{4}=\dfrac{625}{4}\)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{25}{2}\left(cm\right)=12,5\left(cm\right)\)

Tương tự ...

\(BN^2=\dfrac{2.\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Rightarrow BN^2=\dfrac{2.\left(400+625\right)-225}{4}=\dfrac{1825}{4}\)

\(\Rightarrow BN=\sqrt[]{\dfrac{1825}{4}}=\sqrt[]{\dfrac{73.25}{4}}=\dfrac{5\sqrt[]{73}}{4}\left(cm\right)\)

\(CE^2=\dfrac{2.\left(AC^2+BC^2\right)-AB^2}{4}\)

\(\Rightarrow CE^2=\dfrac{2.\left(225+625\right)-400}{4}=\dfrac{1300}{4}\)

\(\Rightarrow CE=\sqrt[]{\dfrac{1300}{4}}=\sqrt[]{\dfrac{13.100}{4}}=\dfrac{10\sqrt[]{13}}{4}=\dfrac{5\sqrt[]{13}}{2}\left(cm\right)\)

Đính chính 

\(BN=\dfrac{5\sqrt[]{73}}{2}\left(cm\right)\)

\(CE=\dfrac{10\sqrt[]{13}}{2}=5\sqrt[]{13}\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên AM=BC/2=12,5cm

AC=căn 25^2-20^2=15cm

AN=15/2=7,5cm

BN=căn AN^2+AB^2=5/2*căn 73(cm)

AE=20/2=10cm

CE=căn AC^2+AE^2=căn 15^2+10^2=5*căn 13(cm)

ai giải giùm bài này đê mk cx có bài bí hi

1234657689