a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:

\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1

b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1

Sai đề rồi nha bạn! 

Đề:  Cho  \(a,b,c>0\)  thỏa mãn  \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.\)  Chứng minh rằng:  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)

Lời giải:

Với mọi  \(a,b,c\in R\)  thì ta luôn có:

\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)  \(\left(\text{*}\right)\) 

Ta cần chứng minh  \(\left(\text{*}\right)\)  là bất đẳng thức đúng!

Thật vậy,  từ  \(\left(\text{*}\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)

                             \(\Leftrightarrow\)  \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Bất đẳng thức  \(\left(\text{**}\right)\)  hiển nhiên đúng với mọi  \(a,b,c\) , mà các phép biến đổi trên tương đương 

Do đó, bất đẳng thức  \(\left(\text{*}\right)\)  được chứng minh.

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a+b=c\)

Mặt khác,  \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)  (theo giả thiết)

Mà  \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}<2\)

\(\Rightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2<2\)  \(\left(\text{***}\right)\)

Từ  \(\left(\text{*}\right)\) kết hợp với  \(\left(\text{***}\right)\), ta có thể viết 'kép' lại:  \(2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2<2\)

Suy ra  \(2bc+2ca-2ab<2\)

Khi đó, vì  \(abc>0\) (do  \(a,b,c\) không âm) nên chia cả hai vế của bất đẳng trên cho  \(2abc\), ta được:

\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}<\frac{2}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)

Vậy, với  \(a,b,c\)  là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)  thì ta luôn chứng minh được:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)

Ta có $\left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\right)\left[(a+b)+(b+c)+(c+a)\right]\ge (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$

$\Rightarrow \dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge \dfrac12$

(vì $a+b+c=1$).

$\boxed{\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge \dfrac12}$

Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

tvbobnokb' n

iai

  ni;bv nn0

a)

$A=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b^2+1)+b(c^2+1)+c(a^2+1)}\qquad (\text{Cauchy Engel})$

$=\dfrac{1}{ab^2+bc^2+ca^2+1}$

$\ge \dfrac{1}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+1}$

$=\dfrac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ca)+1}

$\ge \dfrac{1}{\frac13+1}$ $=\dfrac34$

Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac13$.

$\boxed{A_{\min}=\dfrac34}$

b)

$B=\dfrac{a}{ab+2c}+\dfrac{b}{bc+2a}+\dfrac{c}{ca+2b}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(ab+2c)+b(bc+2a)+c(ca+2b)}$

$=\dfrac4{a^2b+b^2c+c^2a+2(ab+bc+ca)}$

Lại có $a^2b+b^2c+c^2a\le (a+b+c)(ab+bc+ca)$$=2(ab+bc+ca)$

Nên $B\ge \dfrac4{4(ab+bc+ca)}$$=\dfrac1{ab+bc+ca}$

$\ge \dfrac1{\frac{(a+b+c)^2}{3}}$ $=\dfrac34$

Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac23$.

$B_{\min}=\dfrac34$

86 vì ta học lớp 9

Ta có: \(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)

\(=a\left(b^2c^2-b^2-c^2+1\right)+b\left(a^2c^2-a^2-c^2+1\right)\)

\(+c\left(a^2b^2-a^2-b^2+1\right)\)

\(=ab^2c^2-ab^2-ac^2+a+ba^2c^2-a^2b-bc^2+b\)

\(+ca^2b^2-a^2c-b^2c+c\)

\(=\left(ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2\right)+\left(a+b+c\right)\)

\(-\left(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c\right)\)

\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)\)\(-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\)

\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)+3abc\)\(-\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)\right]\)

\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)+3abc\)\(-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+abc+3abc\)\(-abc\left(ab+bc+ca\right)=4abc\)

Vậy \(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)=4abc\)(đpcm)

B=3 nhé bạn