D = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ +...+ 5¹⁹ + 5²⁰ - 1

D = (1 + 5 + 5²) + (5³ + 5⁴ + 5⁵) +...+ (5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰) - 1

D = (1 + 5 + 5²) + 5³ (1 + 5 + 5²) +...+ 5¹⁸ (1 + 5 + 5²) - 1

D = (1 + 5 + 5²) (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 1

D = 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 1

D = 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 + 30

Vì 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 chia hết cho 31 

Nên 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 + 30 chia cho 31 dư 30

Vậy D chia 31 dư 30 

D =5+5^2+5^3+......+5^19+5^20

→ Tổng D có số các số hạng là : (20-1)/1+1 =20

→ Ta chia tổng D thành 6 nhóm mỗi nhóm gồm 3 số và thừa ra ngoài 2 số

→ D = (5+5^2) + (5^3+5^4+5^5) + (5^6+5^7+5^8) + ........ + (5^18+5^19+5^20)

       =  (5+25) + 5^3.(1+5+5^2) + 5^6.(1+5+5^2) + ......... + 5^18.(1+5+5^2)

       =  30 + (5^3+5^6+.......+5^18).(1+5+25)

       =  30 + (5^3+5^6+.......+5^18).31

Ta thấy : 31 chia hết cho 31 nên (5^3+...+5^18).31 chia hết cho 31

             30 chia cho 31 dư 30

→ D chia cho 31 dư 30

 Vậy D chia cho 31 dư 30

d = 5(1 + 5 + 5²) + 5⁴(1 + 5 + 5²) + ...+ 5¹⁸(1 + 5 + 5²)

   = (1 + 5 + 5²).(5 + 5⁴ +...+ 5¹⁸)

   = 31.((5 + 5⁴ +...+ 5¹⁸) chia hết cho 31

Vậy: d chia cho 31 không dư

Dư 0 nhé

\(A=1+5+5^2+5^3+5^4+...+5^9.\)

   \(=1+5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+5^7\left(1+5+5^2\right)\)

    \(=\left(1+5+5^2\right)\left(5+5^4+5^7\right)+1\)

\(=31\left(5+5^4+5^7\right)+1\)

Vậy A chia cho 31 dư 1 

Cảm ơn bn nha Nguyễn  Xuân Anh 😀

Sửa đề: \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{10}+1+5+5^2+\cdots+5^{14}\)

a: Đặt \(B=2+2^2+2^3+\cdots+2^{10}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=31\cdot\left(2+2^6\right)\) ⋮31

Đặt \(C=1+5+5^2+\cdots+5^{14}\)

\(=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+\cdots+\left(5^{12}+5^{13}+5^{14}\right)\)

\(=\left(1+5+5^2\right)+5^3\left(1+5+5^2\right)+\cdots+5^{12}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=31\left(1+5^3+\cdots+5^{12}\right)\) ⋮31

Ta có: \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{10}+1+5+5^2+\cdots+5^{14}\)

=B+C

mà B⋮31 và C⋮31

nên A⋮31

b: Ta có: \(B=2+2^2+2^3+\cdots+2^{10}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\cdots+\left(2^9+2^{10}\right)\)

\(=\left(2+2^2\right)+2^2\left(2+2^2\right)+\cdots+2^8\left(2+2^2\right)\)

\(=6\left(1+2^2+\cdots+2^8\right)\) ⋮6

Ta có: \(C=1+5+5^2+\cdots+5^{14}\)

\(=1+\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdots+\left(5^{13}+5^{14}\right)\)

\(=1+5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+\cdots+5^{13}\left(1+5\right)\)

\(=1+6\left(5+5^3+\cdots+5^{13}\right)\)

=>C chia 6 dư 1

Ta có: A=B+C

\(=6\left(1+2^2+\cdots+2^8\right)+1+6\left(5+5^3+\cdots+5^{13}\right)\)

=>A chia 6 dư 1

a/ Ta có:

\(5A=5^2+5^3+...+5^{21}\)

\(\Rightarrow5A-A=\left(5^2+5^3+...+5^{21}\right)-\left(5+5^2+...+5^{20}\right)\)

\(\Rightarrow4A=5^{21}-5\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{5^{21}-5}{4}\)

b/ D ở đâu thế???

a) Ta có:

A = 5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰

5A = 5(5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰)

5A = 5² + 5³ +.....+ 5²⁰ + 5²¹

5A - A = (5² + 5³ +.....+ 5²⁰ + 5²¹) - (5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰)

4A = 5²¹ - 5

A = (5²¹ - 5) : 4

b) Ta có:

A = 5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰

= 5 + 5² + (5³ + 5⁴ + 5⁵) + (5⁶ + 5⁷ + 5⁸) +....+ (5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

= 30 + 5³(1 + 5 + 5²) + 5⁶(1 + 5 + 5²) +....+ 5¹⁸(1 + 5 + 5²)

= 30 + 5³.31 + 5⁶.31 +...+ 5¹⁸.31

= 30 + (5³ + 5⁶ +....+ 5¹⁸) . 31

Vậy số dư khi chia D cho 31 là 30

Câu 1a:

A = 10^5 + 35

A = \(\overline{..0}\) + 35

A = \(\overline{..5}\)

A ⋮ 5 (1)

Tổng các chữ số của tổng A là:

1 + 0 x 5 + 3+ 5 = 9

9 ⋮ 9 nên A ⋮ 9 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 và 9

Câu b

B = 10^5 + 98

B = \(\overline{..0}\) + 98

B = \(\overline{..8}\) ⋮ 2 (1)

Tổng chữ số tổng B là:

1 + 0^5 + 9 + 8 = 18

18 ⋮ 9 nên B ⋮ 9 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

B ⋮ 2 và 9