a) Lập bảng

Ta có: 2018 : 4 = 504 (dư 2)

Suy ra \(2017^{2018}+2019^{2018}= \overline{...9}+\overline{...1}=\overline{...0}\)

Vậy 2017²⁰¹⁸ + 2019²⁰¹⁸ chia hết cho 10

b) Làm tương tự như câu a)

n có 3 dạng tổng quát là: 3k ; 3k + 1 ; 3k + 2 (k ∈ N)

Trường hợp 1: n = 3k

Thay n = 3k vào n + 2019, ta có:

n + 2019 = 3k + 2019 = 3(k + 673)$⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2019)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (1)$

$Trường\; hợp\; 2:\; n\; =\; 3k\; +\; 1$

$Thay\; n\; =\; 3k\; +\; 1\; vào\; n\; +\; 2018,\; ta\; có:$

$n\; +\; 2018\; =\; 3k\; +\; 1\; +\; 2018\; =\; 3k\; +\; 2019\; =\; 3(k\; +\; 673)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2018)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (2)$

$Trường\; hợp\; 3:\; n\; =\; 3k\; +\; 2$

$Thay\; n\; =\; 3k\; +\; 2\; vào\; n\; +\; 2017,\; ta\; có:$

$n\; +\; 2017\; =\; 3k\; +\; 2\; +\; 2017\; =\; 3k\; +\; 2019\; =\; 3(k\; +\; 673)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (3)$

$Từ\; (1)\; ;\; (2)\; và\; (3)\; =>(n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; với\; mọi\; n$∈ N

Vậy $(n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (đpcm)$

ngu cau nay de vai loz

Câu 2:

\(C=3^{10}+3^{11}+3^{12}+...+3^{17}.\)

\(C=\left(3^{10}+3^{11}+3^{12}+3^{13}\right)+\left(3^{14}+3^{15}+3^{16}+3^{17}\right).\)

\(C=3^{10}\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^{14}\left(1+3+3^2+3^3\right).\)

\(C=3^{10}\left(1+3+9+27\right)+3^{14}\left(1+3+9+27\right).\)

\(C=3^{10}.40+3^{14}.40.\)

\(C=\left(3^{10}+3^{14}\right).40⋮40\left(đpcm\right).\)

\(C=3^{10}+3^{11}+..+3^{17}\\ =\left(3^{10}+3^{11}+3^{12}+3^{13}\right)+\left(3^{14}+..+3^{17}\right)\\ =3^{10}\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^{14}\left(1+3+3^2+3^3\right)\\ =40\left(3^{10}+3^{14}\right)⋮40\)

\(7^{2018}+7^{2017}-7^{2016}\)

\(=7^{2016}\left(7^2+7-1\right)=7^{2016}.55⋮11\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(7^{2018}+7^{2017}-7^{2016}\)

\(=7^{2016}\left(7^2+7-1\right)\)

\(=7^{2016}.55⋮11\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Vì n+2017;n+2018 là hai số nguyên liên tiếp

nên \(\left(n+2017\right)\left(n+2018\right)⋮2\)

Giả sử $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots6.$

Ta có $a^{2018}-a^{2016}=a^{2016}(a^2-1)$

$=a^{2016}(a-1)(a+1).$

Trong ba số nguyên liên tiếp $a-1,\ a,\ a+1$ luôn có một số chia hết cho $3$ và có ít nhất một số chẵn.

Do đó $a(a-1)(a+1)\vdots6.$

Suy ra $a^{2016}(a-1)(a+1)=a^{2015}\cdot a(a-1)(a+1)\vdots6.$

Vậy $a^{2018}\equiv a^{2016}\pmod6.$

Tương tự, $b^{2019}-b^{2017}=b^{2017}(b^2-1)$

$=b^{2017}(b-1)(b+1)$

$=b^{2016}\cdot b(b-1)(b+1)\vdots6,$ nên $b^{2019}\equiv b^{2017}\pmod6.$

Lại có $c^{2020}-c^{2018}=c^{2018}(c^2-1)$

$=c^{2018}(c-1)(c+1)$

$=c^{2017}\cdot c(c-1)(c+1)\vdots6,$ nên $c^{2020}\equiv c^{2018}\pmod6.$

Cộng ba đồng dư trên, $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiva^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\pmod6.$

Theo giả thiết,

$a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\equiv0\pmod6.$

Suy ra $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiv0\pmod6.$

Hay $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots6.$