cảm ơn

nhưng k hiểu mấy

Với các số thực dương a,b ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(a^3+c^3\ge ac\left(a+c\right)\)

\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)

Cộng vế:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Để chứng minh bất đẳng thức:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

với \(a , b , c > 0\), ta sẽ sử dụng các phương pháp như bất đẳng thức \(A M - G M\) hoặc khai triển các biểu thức và đối chiếu các vế.

Bước 1: Mở rộng vế phải

Trước tiên, ta mở rộng vế phải của bất đẳng thức:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Khai triển từng phần:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) = a^{2} b + a b^{2}\)\(b c \left(\right. b + c \left.\right) = b^{2} c + b c^{2}\)\(c a \left(\right. c + a \left.\right) = c^{2} a + c a^{2}\)

Vậy vế phải của bất đẳng thức trở thành:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right) = a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}\)

Bước 2: So sánh với vế trái

Tiếp theo, ta có vế trái là:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)\)

Như vậy, ta cần chứng minh:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}\)

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức \(A M - G M\) (trung bình cộng - trung bình nhân) cho ta kết quả sau với các số dương:

\(\frac{a^{3} + a^{3} + b^{3}}{3} \geq a b \text{ho}ặ\text{c} a^{3} + b^{3} \geq 3 a b\)

Áp dụng tương tự cho các cặp khác nhau, ta có:

\(a^{3} + b^{3} \geq 3 a b , b^{3} + c^{3} \geq 3 b c , c^{3} + a^{3} \geq 3 c a\)

Bây giờ, cộng tất cả các bất đẳng thức trên:

\(\left(\right. a^{3} + b^{3} \left.\right) + \left(\right. b^{3} + c^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} + a^{3} \left.\right) \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Hay:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Bước 4: Kết luận

Vậy ta có:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Vậy, với \(a , b , c > 0\), bất đẳng thức trên là đúng.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)

\(=[a(a+b+c)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)

\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)

\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)

\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

AM-GM là gì z bn

3) Chứng minh bằng biến đổi tương đương ; \(2\left(a^2+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(Chia cả hai vế cho a+b > 0)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.

b) Bạn biến đổi tương tự.

3) \(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)

\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)(đúng với a,b>0)

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)

\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)

\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)

Do đó:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

sử dụng bđt phụ: \(\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)\ge\left(1+xyz\right)^3\)

Biến đổi tương đương

khi đó: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)

Tương tự có đpcm

Em lớp 8, mạn phép làm bài này ạ , có gì sai mong mn chỉ bảo :33

BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow3+\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2+c^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2+c^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\) (1)

Ta có : \(VT\left(1\right)\ge\frac{2bc}{a^2}+\frac{2ac}{b^2}+\frac{2ab}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{8\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=6}\)

\(VT\left(1\right)\ge\frac{2.3\sqrt[3]{\left(abc\right)^3}}{abc}=6\)

Do đó (1) đúng. (đpcm)