+) Xét n = 2k ( n chẵn) => 2n³; 2n²; 2n đều chia hết cho 4 ; 7 chia 4 dư 3

=> A chia cho 4 dư 3

Mà Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1=> không có số n chẵn nào để A là số chính phương

+) Xét n lẻ : n = 2k + 1

A = 2n .(n² + n + 1) + 7 = 2(2k +1).(4k² + 4k + 1 + 2k + 1+ 1) + 7 = (4k + 2). (4k² + 6k + 3) + 7

= 16k³ + 24k² + 12k + 8k² + 12k + 6  + 7 

= 16k³ + 32k² + 24k + 13 

13 chia cho 8 dư 5 ; 16k³; 32k²; 24k chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1; 4 ( chứng minh dễ dàng bằng cách xét các trường hợp; 8m; 8m + 1; ..; 8m+ 7)

=> Không có số n lẻ nào để A là số chính phương

Vậy Không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

+) Xét n = 2k ( n chẵn) => 2n³; 2n²; 2n đều chia hết cho 4 ; 7 chia 4 dư 3

=> A chia cho 4 dư 3

Mà Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1=> không có số n chẵn nào để A là số chính phương

+) Xét n lẻ : n = 2k + 1

A = 2n .(n² + n + 1) + 7 = 2(2k +1).(4k² + 4k + 1 + 2k + 1+ 1) + 7 = (4k + 2). (4k² + 6k + 3) + 7

= 16k³ + 24k² + 12k + 8k² + 12k + 6  + 7 

= 16k³ + 32k² + 24k + 13 

13 chia cho 8 dư 5 ; 16k³; 32k²; 24k chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1; 4 ( chứng minh dễ dàng bằng cách xét các trường hợp; 8m; 8m + 1; ..; 8m+ 7)

=> Không có số n lẻ nào để A là số chính phương

Vậy Không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

n+15= a^2

n-75 = b^2 ( a>b)

a^2-b^2 = 90

( a-b)(a+b ) = 90

giúp câu này với ạ 

a, Vì n \(\in\)N => n²  là số chính phương

mà 9 = 3² là số chính phương

=> n² + 9 là số chính phương.

Vậy A = n² + 9 là số chính phương.

CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!!

Vì A=n²+9 là SCP
Đặt A=n²+9=m² (m thuộc N)

<=> 9=m²-n²

<=> 9=(m-n)(m+n)

Vì n thuộc N => m-n thuộc Z, m+n thuộc N

=> m-n,m+n thuộc Ư(9)

mà m+n>m-n

nên \(\left\{{}\begin{matrix}m+n=9\\m-n=1\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=5\\n=4\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn)

 Vậy A là SCP <=>n=4