sử dụng phương pháp quy nạp

*với n=1 thì 2 chia hết cho2 

*với n=2 thì 3*4=12 chia hết cho 4

thử đúng đến n=k cần cm n=k+ 

ta có (k+1)(k+2)(k+3).....(k+k-1)(k+k)chia hết cho 2^k

n=k+1 biểu thức có dạng (k+1+1)(k+1+2)....(k+1+k)(k+1+k+1)

=2(k+1)(k+2)(k+3)....(k+k-1)(k+k)(k+k+1)chia hết cho2^k*2=2^k+1

thiếu số 1 ở chỗ cm đúng với n=k+1

a: TH1: n=1

\(VT=n^2=1;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{1\cdot\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=1\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1^2+2^2+\ldots+n^2+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left\lbrack n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right\rbrack}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+3n+4n+6\right)}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+3\right)\left(n+2\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1+1\right)\left\lbrack2\cdot\left(n+1\right)+1\right\rbrack}{6}\)

=>Mệnh đề cũng đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

b: TH1: n=1

\(VT=1\left(1+1\right)=1\cdot2=2;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)

=>Mệnh đề đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

khó thế

khai triển ra, ta dc:
25^n+5^n-18^n-12^n (1)
=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)
=(25-18)K-(12-5)H = 7(K-H) chia hết cho 7
.giải thích: 25^n-18^n=(25-18)[25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n]=7K vì đặt K là [25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n, cái (12-5)H cx tương tự

Biểu thức đó đã chia hết cho 7 rồi, bây h cần chứng minh biểu thức đó chia hết cho 13 là xong
từ (1) nhóm ngược lại để chia hết cho 13. Cụ thể là (25^n-12^n)-(18^n-5^n) chia hết cho 13, cách chứng minh chia hết cho 13 này cx tương tự như cách c.minh chia hết cho 7

.1Mà biểu thức này vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13 nên chia hết cho (7.13)=91

Xong!!!

hơi bị khó hiểu

Lời giải:

a) Phản chứng. Giả sử tồn tại \( n\in\mathbb{N}|n^2+7n-40\vdots 121\)

\(\Rightarrow n^2+7n-40\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n+4+11n-44\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n+4=(n-2)^2\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n-2\vdots 11\) (vì \(11\in\mathbb{P}\) )

Do đó, đặt \(n=11k+2\)

Ta có, \(n^2+7n-40\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow (11k+2)^2+7(11k+2)-40\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow 121k^2+121k-22\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow 22\vdots 121\) (vô lý)

Do đó, điểu giả sử là sai, nghĩa là không tồn tại bất kỳ số tự nhiên nào thỏa mãn \(n^2+7n-40\vdots 121\)

Hay \(n^2+7n-40\not\vdots 121\) (đpcm)

Lời giải:

b) Giả sử phản chứng, nghĩa là

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)

Thực hiện khai triển bằng hằng đẳng thức, ta có:

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\)

\(=5a^2+20a+30\)

Khi đó:

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)

\(\Leftrightarrow 5a^2+20a+30\vdots 25\)

\(\Leftrightarrow a^2+4a+6\vdots 5\)

Xét \(a\equiv 0\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 6\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 1+4+6\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 2\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 18\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 3\pmod {5}\rightarrow a^2+4a+6=27\not\equiv 0\pmod {5}\)

Xét \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2+4a+6\equiv 38\not\equiv 0\pmod 5\)

Do đo, \(a^2+4a+6\not\vdots 5\), nghĩa là điều giả sử là sai. Ta có đpcm.

Chọn C

Chọn C