Bài 1:

Gọi K là giao điêm cua CB và AM

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥BK tại C

=>ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MKC}=90^0\) (ΔACK vuông tại C)

\(\hat{MCA}+\hat{MCK}=\hat{ACK}=90^0\)

mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

nên \(\hat{MKC}=\hat{MCK}\)

=>MC=MK

mà MA=MC

nên MA=MK(1)

Ta có: CH⊥AB

KA⊥BA

Do đó: CH//KA

Xét ΔBAM có IH//AM

nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\) (2)

Xét ΔBMK có CI//MK

nên \(\frac{CI}{MK}=\frac{BI}{BM}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra CI=IH

=>I là trung điểm cua CH

Bài 2:

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BA' tại M và BM⊥AB' tại M

Xét ΔA'AB vuông tại A và ΔABB' vuông tại B có

\(\hat{BA^{\prime}A}=\hat{B^{\prime}AB}\left(=90^0-\hat{MBA}\right)\)

Do đó: ΔA'AB~ΔABB'

=>\(\frac{A^{\prime}A}{AB}=\frac{AB}{BB^{\prime}}\)

=>\(A^{\prime}A\cdot BB^{\prime}=AB^2\)

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

=>ΔCAM cân tại C

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

DO đó; DM=DB

Ta có: \(\hat{CAM}+\hat{CA^{\prime}M}=90^0\) (ΔAMA' vuông tại M)

\(\hat{CMA}+\hat{CMA^{\prime}}=\hat{AMA^{\prime}}=90^0\)

mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)

nên \(\hat{CA^{\prime}M}=\hat{CMA^{\prime}}\)

=>CM=CA'

mà CM=CA

nên CA=CA'

Ta có: \(\hat{DMB}+\hat{DMB^{\prime}}=\hat{BMB^{\prime}}=90^0\)

\(\hat{DBM}+\hat{DB^{\prime}M}=90^0\) (ΔBMB' vuông tại M)

mà \(\hat{DMB}=\hat{DBM}\)

nên \(\hat{DMB^{\prime}}=\hat{DB^{\prime}M}\)

=>DM=DB'

mà DM=DB

nên DB=DB'

a: Gọi K là giao điểm của CO và BD

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBK

=>OC=OK và AC=BK
Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có

DO chung

OC=OK

Do đó: ΔDOC=ΔDOK

=>DC=DK và \(\hat{ODC}=\hat{ODK}\)

Xét ΔDHO vuông tại H và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{HDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDHO=ΔDBO

=>OH=OB

=>H thuộc (O)

b: Xét (O) có

OH là bán kính

CD⊥OH tại H

Do đó: CD là tiếp tuyến của (O)

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD

mà OA\(\perp\)BC

nên OA//CD

Bạn tự vẽ hình nha!

c) Các tam giác ACM và BDM cân tại C và D; CO là phân giác góc ACM; DO là phân giác góc BDM => Các đường phân giác này cũng là đường cao => CO vuông góc với AM tại E và DO vuông góc với BM tại F => g. OEM = OFM = 90^o.

Mặt khác g.AMB =90^o(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => Từ giác OEMF là hình chữ nhật => I là trung điểm của OM => IO = OM/2 = R/2 (Không đổi)

Do đó khi M di chuyển thì trung điểm I của EF luôn cách O một khoảng không đổi R/2 => Quỹ tích trung điểm I của EF là nửa đường tròn tâm O bán kính R/2 cùng phía với nửa đường trón tâm O đường kính AB.

Up up up

Giúp em với!!!

Lời giải:

Ta có:

$\widehat{ACB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow BC\perp AD$

$\widehat{ABD}=90^0$ (theo tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \triangle ABD$ vuông tại $B$

Vậy tam giác $ABD$ vuông tại $B$ có đường cao $BC$. Áp dụng công thức hệ thức lượng:

$BC^2=AC.CD$ (đpcm)

b. 

$BO=BC=OC$ nên $BOC$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{CBO}=60^0$

$\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{CAD}=30^0$

Xét tam giác $ABD$ vuông:

$BC=AB\tan \widehat{DAB}=2R\tan 30^0=8\tan 30^0=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ (cm)

Hình vẽ: