a, Gọi giao điểm của AB và EH là O

Xét tg AEO có \(\sin\widehat{A}=\dfrac{OE}{OA}\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OEA}=\widehat{HDO}=90^0\\\widehat{AOE}.chung\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta ODH\sim\Delta OEA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OH}{OA}\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OH}{OA}\\\widehat{AOE}.chung\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta OHA\sim\Delta ODE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AH}=\dfrac{OE}{OA}=\sin\widehat{A}\\ \Rightarrow DE=AH\cdot\sin\widehat{A}\)

b, Áp dụng công thức diện tích tam giác bằng \(\dfrac{1}{2}\) tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{AIC}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AI\cdot\sin\widehat{BAI}+\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin\widehat{CAI}\)

Mà AI là p/g nên \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=30^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin60^0=\dfrac{1}{2}AB\cdot AI\cdot\sin30^0+\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin30^0\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}AB\cdot AI+\dfrac{1}{4}AC\cdot AI\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}AI\left(AB+AC\right)\\ \Rightarrow\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{1}{4}AI}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{AI}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)

a, Xét tam giác ABD và tam giác ACE 

^A _ chung 

^ADB = ^AEC = 90⁰

Vậy tam giác ABD ~ tam giác ACE (g.g) 

b, Xét tam giác CBD và tam giác CAK ta có 

^C _ chung 

^CDB = ^CKA = 90⁰

Vậy tam giác CDB ~ tam giác CKA (g.g) 

\(\dfrac{CD}{CK}=\dfrac{CB}{CA}\Rightarrow CD.CA=CB.CK\)

c, Xét tam giác KDC và tam giác ABC 

^C _ chung 

\(\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{KC}{AC}\)( tỉ lệ thức tỉ số đồng dạng ) 

Vậy tam giác KDC ~ tam giác ABC (c.g.c) 

a: \(\widehat{C}=30^0\)

AB=4cm

\(AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Hình như đề bài sai bạn ơi câu a phải là \(\dfrac{HC}{HB}\)= \(\dfrac{MA}{AH}\)

a: Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC

AD chung

BD=CD

Do đó: ΔABD=ΔACD

b: Xét ΔBHD vuông tại H và ΔCKD vuông tại K có

BD=CD

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔBHD=ΔCKD

c: ta có: AH+HB=AB

AK+KC=AC

mà AB=AC

và HB=KC

nên AH=AK

hay ΔAKH cân tại A

d: Xét ΔABC có AH/AB=AK/AC

nên HK//BC

a: Xét ΔADB và ΔADC có

AD chung

DB=DC

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔADC

b: Xét ΔBHD vuông tại H và ΔCKD vuông tại K có

BD=CD

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔBHD=ΔCKD

c: Ta có: AH+HB=AB

AK+KC=AC

mà HB=KC

và AB=AC

nên AH=AK

hay ΔAHK cân tại A

d: Xét ΔABC có AH/AB=AK/AC

nên HK//BC

\(\widehat{BHD}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{HAB}=\widehat{ADE}\)

Do đó: \(\widehat{ADE}=\widehat{BHD}\)

a: Xét ΔADB và ΔADC có

AD chung

DB=DC

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔADC

b: Xét ΔBHD vuông tại H và ΔCKD vuông tại K có

BD=CD

Do đó: ΔBHD=ΔCKD

c: Ta có: AH+HB=AB

AK+KC=AC

mà HB=KC

và AB=AC

nên AH=AK

hay ΔAHK cân tại A

d: Xét ΔABC có AH/AB=AK/AC

nên HK//BC