Cho x,y,z là số thực. Chứng minh rằng :
x2 + y2 + z2 + x2y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + 1 ≥ 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
9 tháng 7 2023
Bài 3:
a, (\(x\)+y+z)2
=((\(x\)+y) +z)2
= (\(x\) + y)2 + 2(\(x\) + y)z + z2
= \(x^2\) + 2\(xy\) + y2 + 2\(xz\) + 2yz + z2
=\(x^2\) + y2 + z2 + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
9 tháng 7 2023
b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y2 + z2 - \(xy\) - yz - \(xz\))
= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y3
Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y3 khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 5
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\cdot\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{z^2}}=2\cdot\sqrt{\frac{x^2}{z^2}}=2\cdot\frac{x}{z}\)
\(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge2\cdot\sqrt{\frac{y^2}{z^2}\cdot\frac{z^2}{x^2}}=2\cdot\sqrt{\frac{y^2}{x^2}}=2\cdot\frac{y}{x}\)
\(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\ge2\cdot\sqrt{\frac{z^2}{x^2}\cdot\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\sqrt{\frac{z^2}{y^2}}=2\cdot\frac{z}{y}\)
Do đó; \(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\ge2\cdot\frac{x}{z}+2\cdot\frac{y}{x}+2\cdot\frac{z}{y}\)
=>\(2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)\)
=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 5
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\cdot\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{z^2}}=2\cdot\sqrt{\frac{x^2}{z^2}}=2\cdot\frac{x}{z}\)
\(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge2\cdot\sqrt{\frac{y^2}{z^2}\cdot\frac{z^2}{x^2}}=2\cdot\sqrt{\frac{y^2}{x^2}}=2\cdot\frac{y}{x}\)
\(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\ge2\cdot\sqrt{\frac{z^2}{x^2}\cdot\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\sqrt{\frac{z^2}{y^2}}=2\cdot\frac{z}{y}\)
Do đó; \(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\ge2\cdot\frac{x}{z}+2\cdot\frac{y}{x}+2\cdot\frac{z}{y}\)
=>\(2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)\)
=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021
Lời giải:
Đặt $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t$
$\Rightarrow a=xt; b=yt; c=zt$. Ta có:
$a+b+c=xt+yt+zt=t(x+y+z)=t$
$a^2+b^2+c^2=t^2(x^2+y^2+z^2)=t^2$
$ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{t^2-t^2}{2}=0$
Ta có đpcm.
ta có : \(x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2-4xyz+y^2z^2-2yz+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xyz+y^2z^2\right)+\left(x^2y^2z^2-2xyz+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-z\right)^2+\left(x-yz\right)^2+\left(xyz-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall x;y;z\))
\(\Rightarrow\) (đpcm)