Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn: x>z; y>z>0. CMR: \(\sqrt{z\left(x-z\right)}\)+ \(\sqrt{z\left(y-z\right)}\) \(\leq\)\(\sqrt{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
QK
1
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
16 tháng 8
Ta có $xyz\ge x+y+z+2.$
Theo bất đẳng thức AM-GM:
$xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.$
Suy ra $\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge x+y+z+2$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^3\ge27(x+y+z+2)$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^3-27(x+y+z)-54\ge0$
$\Leftrightarrow (x+y+z-6)(x+y+z+3)^2\ge0.$
Vì $x,y,z>0$ nên $x+y+z+3>0.$
Do đó $x+y+z-6\ge0$
$\Leftrightarrow x+y+z\ge6.$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ và $xyz=x+y+z+2$
$\Leftrightarrow x^3=3x+2$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2=0$
$\Leftrightarrow x=2.$
Vậy $x=y=z=2$ và $\min(x+y+z)=6.$
MN
1
22 tháng 10 2016
Ta có
x + y \(\ge\)xy(4 - x - y)
<=> x + y + xy2 + yx2 - 4xy \(\ge0\)
<=> \(\left(x-2xy+xy^2\right)+\left(y-2xy+yx^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}-x\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
=> ĐPCM
CT
0
Ta co : \(\dfrac{2\sqrt{x.\left(x-z\right)}}{2}\le\dfrac{x+x-z}{2}\)
\(\dfrac{2\sqrt{z\left(y-x\right)}}{2}\le\dfrac{z+y-x}{2}\)
VT≤\(\dfrac{2x-z}{2}+\dfrac{z+y-x}{2}=\dfrac{2x-z+z+y-x}{2}\)
=\(\dfrac{x+y}{2}\le\sqrt{xy}\)
=> DPCM
Toan bo dung bdt Co Si nha
phủ định ddpcm