Hộ mình 2 câu này vs ạ!!!
Nguyên hàm của:
a, dx/x+√x
b, sin4x. cos3x. sinx. dx
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
24 tháng 9
a: \(I_1 = \int \left( \tan(x) - \ln^{15}(\cos(x)) \right) dx\)
=>\(I_1 = \int \tan(x) \, dx - \int \ln^{15}(\cos(x)) \, dx\)
\(A=\int\tan(x)\,dx\)
\(=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx\)
\(=-\int\frac{d(\cos(x))}{\cos(x)}=-\ln\vert{}\cos(x)\vert{}\)
\(B = \int \ln^{15}(\cos(x)) \, dx\)
Đặt \(u=\ln(\cos(x))\)
\(\implies du=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\tan(x)dx\)
\(\int \tan(x) \ln^{15}(\cos(x)) \, dx = -\int u^{15} \, du = -\frac{u^{16}}{16} + C = -\frac{\ln^{16}(\cos(x))}{16} + C\)
Do đó: \(I_1 = -\ln\vert{}\cos(x)\vert{} - \int \ln^{15}(\cos(x)) \, dx + C\)
b: \(I_2 = \int \frac{x^4 + x^2 + 1}{2x^3 + 5x^2 - 7} \, dx\)
Ta có: \(x^4 + x^2 + 1 = \left( \frac{x}{2} - \frac{5}{4} \right)(2x^3 + 5x^2 - 7) + \left( \frac{25}{4}x^2 + \frac{7}{2}x - \frac{31}{4} \right)\)
=>\(\frac{x^4 + x^2 + 1}{2x^3 + 5x^2 - 7}=\frac{x}{2}-\frac{5}{4}+\frac{\frac{25}{4}x^2 + \frac{7}{2}x - \frac{31}{4}}{2x^3 + 5x^2 - 7}\)
\(=\frac{x}{2}-\frac{5}{4}+\frac{25x^2 + 14x - 31}{4(2x^3 + 5x^2 - 7)}\)
Đặt \(\frac{25x^2 + 14x - 31}{(x - 1)(2x^2 + 7x + 7)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{2x^2 + 7x + 7}\)
=>\(25x^2 + 14x - 31 = A(2x^2 + 7x + 7) + (Bx + C)(x - 1)\)
=>\(25x^2+14x-31=x^2\left(2A+B\right)+x\left(7A-B+C\right)+7A-C\)
=>\(\begin{cases}2A+B=25\\ 7A-B+C=14\\ 7A-C=-31\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2A+B=25\\ 7A-B+C-7A+C=14+31\\ 7A-C=-31\end{cases}\)
=>2A+B=25 và -B+2C=45 và 7A-C=-31
=>B=25-2A và -25+2A+2C=45 và 7A-C=-31
=>2A+2C=70 và 7A-C=-31 và B=25-2A
=>A+C=35 và 7A-C=-31 và B=25-2A
=>8A=4 và A+C=35 và B=25-2A
=>A=1/2; C=35-1/2=69/2; B=25-2*1/2=24
Do đó: \(\frac{25x^2 + 14x - 31}{4(2x^3 + 5x^2 - 7)} = \frac{1}{8(x - 1)} + \frac{24x + \frac{69}{2}}{4(2x^2 + 7x + 7)} = \frac{1}{8(x - 1)} + \frac{48x + 69}{8(2x^2 + 7x + 7)}\)
48x+69=12(4x+7)-15
=>\(\int \frac{48x + 69}{2x^2 + 7x + 7} dx = 12 \int \frac{4x + 7}{2x^2 + 7x + 7} dx - 15 \int \frac{dx}{2x^2 + 7x + 7}\)
\(= 12 \ln(2x^2 + 7x + 7) - \frac{15}{2} \int \frac{dx}{\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + \frac{7}{16}}\)
\(= 12 \ln(2x^2 + 7x + 7) - \frac{30}{\sqrt{7}} \arctan\left( \frac{4x + 7}{\sqrt{7}} \right)\)
=>\(I_2 = \int \left( \frac{x}{2} - \frac{5}{4} \right) dx + \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x - 1} + \frac{1}{8} \int \frac{48x + 69}{2x^2 + 7x + 7} dx\)
\(=\frac{x^2}{4}-\frac{5x}{4}+\frac{1}{8}\ln\vert{}x-1\vert{}+\frac{3}{2}\ln(2x^2+7x+7)-\frac{15}{4\sqrt{7}}\arctan\left(\frac{4x + 7}{\sqrt{7}}\right)+C\)
TD
0
Lời giải:
a)
\(I=\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}}\). Đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^2\)
\(\Rightarrow I=\int \frac{d(t^2)}{t^2+t}=\int \frac{2tdt}{t^2+t}=2\int\frac{dt}{t+1}=2\int \frac{d(t+1)}{t+1}\)
\(\Leftrightarrow I=2\ln |t+1|+c=2\ln |\sqrt{x}+1|+c\)
b)
\(P=\int \sin 4x\cos 3x\sin xdx\)
Áp dụng công thức lượng giác:
\(\sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x.\sin x\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}\int \sin 4x(\sin 4x-\sin 2x)dx\)
\(=\frac{1}{2}\int \sin ^24xdx-\frac{1}{2}\int \sin 4x\sin 2xdx\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{1-\cos 8x}{2}dx-\frac{1}{2}\int \frac{\cos 6x-\cos 2x}{-2}dx\)
\(=\frac{1}{4}\int (1-\cos 8x)dx+\frac{1}{4}\int (\cos 6x-\cos 2x)dx\)
\(=\frac{1}{4}x-\frac{\sin 8x}{32}+\frac{\sin 6x}{24}-\frac{\sin 2x}{8}+c\)